数值分析.南京电大 36讲 szfx28.docVIP

第十四章 常微分方程的数值解法 对于一阶常微分方程初值问题: 例如微分方程:xy’-2y=4x转变为y’=2/x+4,这儿f(x,y)=2y/x+4,加上定解条件(初始条件):y(1)=-3,得一阶常微分方程的初始问题,微分方程的定解问题是求一个函数y=y(x)使得该函数满足微分方程并且符合初值条件。例如对于函数y(x)=x2-4x满足以上条件,因而是该初始问题的解。 但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解，有的甚至无法用解析表达式来表示，而在实际工程技术、生产、科研上会出现大量的微分方程问题，需要得到其解，因此只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。 微分方程的数值解：设方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x0=a，将[a,b]内得一系列节点x0 , x1 ,...,xn。a= x0 x1… xn =b,其中hk=xk+1-xk , 如是等距节点h=(b-a)/n , 对一切k，h= xk+1-xk ,k=0,1,2,...n-1。h称为步长，一般采用等距步长。y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数值方法求得y(x)在每个节点xk的值y(xk)的近似值，用yk表示，即y≈y(xk)，这样y0 , y1 ,...,yn称为微分方程的数值解。 上例中微分方程的解y(x)=x2-4x设解的存在区间为[1，3]，n=10，h=(3-1)/10=0.2 K xk y(xk) 0 1 -3 1 1.2 -3.36 2 1.4 -3.64 3 1.6 -3.84 4 1.8 -3.96 5 2.0 -4 6 2.2 -3.96 7 2.4 -3.84 8 2.6 -3.64 9 2.8 -3.36 10 3.0 -3 §1 欧拉公式和改进欧拉方法 一、欧拉公式： 1、方法构造的思想：微分方程初值问题 ， 微分方程在(x0,y0)处成立，再用前差代替一阶导数， ，则。 此时x0, y0均已知y(x0)= y0,则由此式可近似求出y(x1)的近似值y1，∴ 同样可利用x1处的微分方程可得，一般的利用在xn处的微分方程可得： 此式称为微分方程的差分格式，对于这个差分格式我们称为欧拉公式(或称欧拉格式Euler Scheme)。 2、几何意义： 对于微分方程y’=2(x+1),其通解是y=(x+1)2+c,是一个曲线族(本问题是抛物线族)， 如果加上定解条件y(0)=2，则是 一个确定的解，y=(x+1)2+1,由y(0)=2， 过该曲线上一点P0(x0,y0)作曲线的切线， 其斜率，∴切线为 例：h=0.5,x1=x0+h切线与x=x1的交点为Q1 (x1,y1), x1-x0=h y1=y0+hf(x0，y0) 这就是由欧拉方法求出的y1， 而x=x1与曲线y=y(x)的交点是P1(x1, y(x1))，y(x1)与y1是有误差的。 在本问题中h=0.5，则y(x1)=1.52，而y1=y0+hf(x0，y0)=3，误差为0.25。 例：y’=2x，y(0)=1，h=0.2，其解为y=x2+1，y(x1)=0.22+1=1.04 y1=y0+hf(x0，y0)=1+h×0=1 Q1点实际在曲线族的另一个抛物线y=x2+0.96上，过Q1点作切线x=x2交于Q2(x2, y2)。y(x2)=0.42+1=1.16 y2=y1+hf(x1，y1)=1+0.2×2×0.2=1.08 Q2实际上在y=x2+0.92上，再通过Q2作曲线y=x2+0.92的切线，交x=x3于Q3(x3, y3)继续得到一系列的Q1，Q2， ... ，Qn，得一折线P0Q1Q2... Qn。故欧拉法又称欧拉折线法。 例1： 解：h=0.2 , xi=1+ih y1= y0+hf(x0，y0)=-1+0.2× y2= y1+hf(x1，y1)=-1+0.2× y3= y2+hf(x2，y2)= -0.9333+0.2× y4= y3+hf(x3，y3)=0.8+0.2× y5= y4+hf(x4，y4)=0.6+0.2× y6= y5+hf(x5，y5)=0.3333+0.2× 精确解为：y=x2-2x xk y(xk) yk ek 1.2 -0.96 -1 0.04 1.4 -0.84 -0.9333 0.0933 1.6 -0.64 -0.8 0.16 1.8 -0.36 -0.6 0.24 2.0 0 -0.3333 0.3333 2.2 0.44 0 0.44 可以看出误差随