§34 泰勒公式.PDFVIP

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2017-06-28 发布于天津
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§34 泰勒公式

§3.4 泰勒公式在初等函数中，计算最简单的函数就是多项式．从而联想到，如果能将复杂的函数近似地用多项式表示出来，而误差又能满足要求，这样就对研究函数的性质与近似计算带来极大方便． 3.4.1 带佩亚诺型余项的泰勒公式由微分学知识，若f (x) 在 x0 可导，则有 f (x ) f (x ) =+ f ′(x )(x −x ) +o (x −x ) ． 0 0 0 0 即在点x0 附近，用一次多项式f (x ) + f ′(x )(x −x ) 近似代替 f (x) 时，其误差为o(x −x ) ．现 0 0 0 0 在我们需要进一步推广：用 n 次多项式近似代替 f (x) 时，其误差为 n ． o((x −x ) ) 0 先考察函数本身是多项式的情况．设 n 次多项式P (x ) 为： 2 n P (x) a +a (x −x ) +a (x −x ) ++a (x −x ) ． 0 1 0 2 0 n 0 则逐次求它在点 x0 的各阶导数，得到 ′ ′′ (n ) P (x ) a ，P (x ) a ，P (x ) 2a ，，P (x ) n !a ． 0 0 0 1 0 2 0 n 即 P (k ) (x ) ak 0 ，（k 0, 1, 2, , n ）． k ! 因此n 次多项式P (x) 也可以表示成： ′′ (n ) P (x ) 2 P (x ) n P (x ) P (x ) =+P (x )(x −x ) +′ 0 (x −x ) + + 0 (x −x ) ． 0 0 0 0 0 2! n!