2 1数列极限ppt课件.pptVIP

* * 第一节 数列的极限 一 数列极限的定义 二 收敛数列的性质 三 小节 第二章 * * 一、数列极限的定义 例如 1.数列 * * 注： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 * * 2. 数列的极限 我们先来观察数列 当n 无限增大时 ， 即 时的变化趋势. 图形演示 * * 图形演示 时， 的变化趋势. 数列 当 * * 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过上面演示实验的观察: * * * * 如果数列没有极限,则称数列是发散的. 注： 定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小)总存在正数 ，使得对于 时的一切 不等式 都成立, 那末就称常数 为数列 的极限，或者称数列收敛于 ,记为 * * 几何解释: 其中 对于每一个或任给的 * * 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 证 所以, 注： * * 例2 证 所以, 注：用定义证明数列极限存在时，关键： 寻找 ,但不是求最小的 . * * 例3 证 * * 二、收敛数列的性质 1.收敛数列的唯一性 定理 收敛的数列只有一个极限. 证 由定义, 故收敛数列极限唯一. * * 例4 证 由定义, 区间长度为1. 不可能同时位于长度为1的区间内. * * 定理 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 2.收敛数列的有界性 注1 有界性是数列收敛的必要条件. 注2 无界数列必定发散。如数列 注3 有界数列不一定收敛。如数列 * * 数列的子数列 子数列(子列):在数列 中任意抽取无限多项,并保持这些项在原数列中的先后次序得到的数列,称为原数列的子列. 记作 即 其中 如 自然数列 * * 3.收敛数列与其子列的关系 * * 推论1 如果数列 有一个子列发散,则数列 发散. 推论2 如果数列 有两个子数列不同的极限则 数列 发散. 例如数列 因为它有两个子列 分别收敛于1和-1两个不同的数值. * * 三、小结 数列极限：极限思想，精确定义，几何意义. 收敛数列的性质: 有界性、 唯一性、保号性*. 收敛数列与子数列的关系. 若数列从某项起 * * * * * * * * * * * * * *