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第四节 二、函数展开成幂级数 要点: * 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十一章 一、泰勒级数 上一节的问题是给定一个幂级数，确定其收敛域及和函数。本节考虑一个相反的问题：给定一个函数，能否把它展开成幂级数？ 假设 一般来说不一定. 问题： 根据泰勒公式（见第三章第三节） 证明: 1.直接展开法(泰勒级数法) 如果某阶导数不存 在, 说明不能展开. 求出收敛半径R. 如果是，则 解： 有限 趋于零,因为 收敛 解: (循环) 例3 解: 泰勒级数： 两边积分 得 即 牛顿二项展开式 注意: 双阶乘 特殊情形： 几个基本展开式 2.间接展开法 利用已知的函数展开式, 通过变量代换、 恒等变形、幂级数求导、积分等方法把函数展开为幂级数. 两边对x求导，得 两边求原函数，得 定义且连续, 区间为 上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 两边求原函数，得 例4. 将 分别展开成 x 和 x－1 的幂级数 . 解：① ② 例5. 将 展开成 x－1的幂级数。 解： 第四节 函数展开成幂级数 函数展开为幂级数: 2.间接展开法 利用已知的函数展开式, 通过变量代换、 恒等变形、幂级数求导、积分等方法把函数展开为幂级数. 1.直接展开法(泰勒级数法)