第5章 对流-扩散方程的离散格式-课件.pptVIP

2009年3月13日 §5.1 对流项离散格式的重要性及两种离散方式 一、对流项离散格式的重要性 1、数值解的准确性（假扩散） 2、数值解的稳定性 3、数值解的经济性 二、构造离散格式的两种方式 1、Taylor展开法 2、控制容积积分法 两种定义截差阶数一致，但截差首项系数有所不同。 §5.2 对流项的中心差分与迎风格式 一、一维对流-扩散问题模型方程的精确解 边界条件： 一、一维对流-扩散问题模型方程的精确解（续） Peclet数： Pe表示对流与扩散作用 的相对大小。 二、对流项的中心差分 对方程 采用控制容积积分法 记：F = ru 通过界面的流量。 界面上单位面积扩散阻力的倒数(扩导)。 二、对流项的中心差分（续） 在数值计算过程中，如果连续性方程始终得到满足，则： 在求解过程中，始终保持连续性方程满足非常重要。 常物性条件下均分网格： 二、对流项的中心差分（续） 例：在一维模型方程离散求解的均分网格中，已知fW =100， fE =200。试对PD =0，1，2及4四种情况按中心差分格式计算fP之值。 负系数会导致物理上不真实的解。 三、对流项的迎风格式 Taylor展开法 控制容积积分法 e界面 w界面 三、对流项的迎风格式（续） e界面 w界面 三、对流项的迎风格式（续） 迎风格式离散形式： 四、中心差分与一阶迎风格式的讨论 1、对流项中心差分在不发生振荡的参数范围内，比一阶迎风格式的误差更小。 2、一阶迎风格式离散方程系数永远大于零，不会引起解的振荡，得到物理上看似合理的解。 3、一阶迎风格式截差阶数低，除非采用相当密的网格，否则计算结果的误差较大。 4、一阶迎风格式的启示：应当在迎风方向取更多的信息构造格式，更好地反映对流过程的物理本质。 5、在调试程序或计算的中间过程仍可以采用一阶迎风格式。 §5.3 对流-扩散方程的混合格式及乘方格式 一、系数aE与aW 之间的内在联系 aE(i)与aW (i+1)共享同一个界面。 对流项中心差分： 对流项一阶迎风： 二、混合格式(Spalding,1971) 三、指数格式 三、指数格式（续） 四、乘方格式(Patankar,1979) 五、5种3点格式系数汇总 §5.4 对流-扩散方程5种3点格式系数特性的分析 总通量密度J：单位时间内、单位面积上由扩散及对流作用而引起的某一物理量的总转移量。 一、通量密度及其离散表达式（续） J*的离散表达式： Behind Ahead 界面后的项 界面前的项 以坐标轴正方向为依据的“前”、“后”。 二、系数A、B间的关系 1、和差特性 当 时，界面上的扩散通量为零，于是： 二、系数A、B间的关系（续） 2、对称特性 坐标系I： 坐标系II： 因为： 于是： 二、系数A、B间的关系（续） 指数格式系数A、B间的关系 三、系数特性的重要推论 和差特性： 对称特性： 重要推论： 对5种3点格式的任何一种，若在PD0时，A(PD)的计算式为已知，则在 的范围内A(PD)、 B(PD)的计算式均可得出。 三、系数特性的重要推论（续） 证明： 四、aE、aW的通用表达式 J通量密度守恒方程 四、aE、aW的通用表达式（续） 不同格式的区别仅在于 的计算式不同。 五、5种3点格式的 五、5种3点格式的 （续） 六、关于格式定义与系数特性的说明 1、从一维到多维的推广 在每一个坐标方向上都按一维问题处理。 2、所得出的系数表达式便于编制通用性程序，由专用模块处理 。 3、利用aE(i)与aW (i+1)间的关系，可以节省计算系数的工作量。 §5.5 关于对流项离散格式假扩散特性的讨论 一、假扩散的含义 本来含义：对流-扩散方程中一阶导数项的离散格式的截断误差小于二阶而引起较大数值计算误差。 分析：纯对流方程，显式，FUD 一、假扩散的含义（续） 假扩散系数 一、假扩散的含义（续） 拓宽含义：由以下三种原因引起的数值计算误差。 1、非稳态项或对流项采用一阶截差的格式 2、流动方向与网格线呈倾斜交叉（多维问题）。 3、建立差分格式时没有考虑到非常数源项的影响。 二、由于一阶导数截差阶数低而引起的假扩散 一维无