数值分析 -lec14--二元插值概论.ppt

矩形区域上函数f(x, y)的双线性插值 x1 x2 y2 y1 插值条件: P(x1, y1) = z1, P(x2, y1) = z2, P(x2, y2) = z3, P(x1, y2) = z4 P(x, y) = ax + by + cxy + d l1(u，v)= (1 – u)(1 – v) l2(u，v)= u(1 – v) l3(u，v)= u v l4(u，v)= (1 – u) v 其中 P(x, y) = z1(1 – u)(1 – v)+ z2 u(1 – v) + z3 u v + z4 (1 – u)v 16/18 三角形区域?线性插值 插值条件: z1= P(x1, y1) z2 = P(x2, y2) z3 = P(x3, y3 ) (x1, y1) (x3, y3) (x2, y2) 拉格朗日方法 P(x, y)=l1(x, y)z1+l2(x, y)z2+l3(x,y)z3 P(x, y)=a x + b y + c (x，y) (x1，y1) (x2，y2) (x3，y3) l1(x, y) 1 0 0 l2(x, y) 0 1 0 l3(x, y) 0 0 1 17/18 ? l1(x, y)的图形是空间三角形 分片线性插值 18/18 P(x, y)=l1(x, y)z1+l2(x, y)z2+l3(x, y)z3 图形是空间三角形 作业 课后习题：2、4、6、8、9、11、13、16 * 朱立永 北京航空航天大学 数学与系统科学学院 Email: numerical_analysis@ Password:beihang 答疑时间：星期三下午2:00－5:00 答疑地点：主216 第十三讲二元函数插值和Hermit插值 第五章插值与逼近 代数插值 一元函数插值（一元Lagrange插值） 二元函数插值（二元Lagrange插值） Hermite插值 分段低次插值 样条插值 插值有多种方法：Lagrange 插值、Newton插值、Hermit插值等多种方式。 插值是数值逼近的一种手段，而数值逼近是为得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。 那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到这个目的呢？ 插值多项式的收敛性 我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2， …，n) 上的n次插值多项式Pn (x) 的余项 设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知，当f(x)充分光滑时，若余项随n增大而趋于0时，这说明可用增加节点的方法达到这个目的。那么实际是这样吗？ 插值节点的增多, 尽管使插值多项式在更多的插值节点上与函数 f(x) 的值相等,但在两个节点之间Pn(x)不一定能很好地逼近 f(x) , 有时误差会大得惊人,著名的龙格(Runge)现象证实了这个观点. 例:1901年龙格(Runge) 给出一个例子: 龙格(Runge)现象 两等分三节点 四等分5节点 10等分11节点 Runge 现象 事实上，可以证明，对1/(1+25x^2)这个函数在[-1,1]区间内用n+1个等距节点作插值多项式，当n趋于无穷大时，插值多项式只能在|x|0.36内收敛，而在这个区间之外是发散的，类似这样的现象称为Runge现象. 龙格(Runge)现象表明插值多项式序列不收敛，实际上，严格的理论分析可知插值多项式序列确是不收敛的，而且高阶插值还是不稳定的。 数值稳定性 从计算的数值运算误差看,对于等距节点的差分形式,由于高阶差分的误差传播,函数值的微小变化都将使插值产生很大的误差. 因此实际应用中常采用分段低次插值。 （1）分段线性插值 （2）分段二次插值与分段三次插值 （3）分段Hermite插值 (4) 分段三次样条插值 因此，实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。 那么如何提高插值精度呢？ 定义 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点