2015年金帆组合杂题真题+(教师版).pdfVIP

2015 年金帆组合杂题真题 1、（2015 年金帆五升六）在右图中有16 个黑点，它们排成了一个4 4 的方阵．用线段 连接其中4 点，就可以画出各种不同的正方形．现在要去掉某些点，使得其中任意4 点 都不能连成正方形，那么最少要去掉______个点． 【答案】 6 【解析】 图中共有五种正方形：边长为1、2 、3 的，以 正方形的对角线为边长的、以 长 11 1 2 方形对角线为边长的．由于四个角的田字格至少应分别去掉1 个，故至少去掉4 个．但 经试验去掉4 或5 个点仍有正方形，故至少去掉6 个点，方案如图所示． 2、（金帆五升六）能否用9 个如图所示的丁字形卡片覆盖6×6 的棋盘？ 【答案】 不能 【解析】 图中黑、白格各18 个，每张卡片盖住的黑格数是奇数，9 张卡片盖住的黑格数之和仍 是奇数，不可能盖住18 个黑格． 3、（金帆五升六）国际象棋的棋盘有64 个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当 它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如图上虚线所示．如 果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都 会被吃掉．请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？ 【答案】 如图 【解析】 见答案． 4 、（金帆五升六）能否将 1 至 12 排成一圈，使得相邻的两个数之差为5 或者7 。能则 给出一个例子，否则给出证明。 【答案】 能，如排成1，6，11，4，9，2，7，12，5，10，3，8。 【解析】 见答案。 5、（金帆五升六）在10×10 的方格表中最少要放多少个2×2 的小方格才能保证不能再往 表格中放入2×2 的小方格，使它不与已放的小方格相交？ 【答案】 9 【解析】 共1111个点，为使放入的正方形“效益最大化”，易知只需以第3、6、9 行的第3、6、 9 列为中心画9 个2×2 的小方格即可。 6、（2015 金帆五升六暑期）下图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段 路所需要的时间（单位：分）．小明从A 到B 最快要几分钟？ 【答案】 16 分钟 【解析】 如果不过O 点，至少需要4 3 6 4 17 分钟，如果过O 点，最少需要1 5 6 4 16 分钟，路径为A →C→O→D→B ． 7、 （2015 金帆五升六暑期）有4 辆汽车要派往五个地点运送货物，右图○中的数字分 别表示五个地点完成任务需要的装卸工人数，五个地点共需装卸工20 人．如果有些装 卸工可以跟车走，那么应如何安排跟车人数及各点的装卸工人数，使完成任务所用的装 卸工总人数最少？ 【答案】 每车跟车3 人，原来需5 人的两个点各安排2 人，原来需4 人的点安排1 人 【解析】 因为五个地点中需装卸工最多的是5 个人，所以如果每辆车跟5 个工人，那么每辆车到 达任何一个地点，都能正常进行装卸．由此得到，跟车人数的试探范围是1～5 个人．若 每车跟车5 人，则各点不用安排人，共需20 人；若每车跟车4 人，则原来需5 人的点 还需各安排 1 人，共需 18 人；若每车跟车3 人，则原来需5 人的点还需各安排2 人， 原来需4 人的点还需各安排1 人，共需17 人；同理可求出，每车跟车2 人，共需18 人； 每车跟车 1 人，共需 19 人．可见，安排每车跟车3 人，原来需5 人的两个点各安排2 人，原来需4 人的点安排1 人，这时所用的装卸工总人数最少，需17 人． 8、（2015 金帆五升六暑期）甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定 每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分，放好的硬币不再移动．谁放了最后 一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了．说明放第一枚硬币的甲百 战百胜的策略． 【答案】 第一次甲放在正中间位置，以后只要乙放完后，甲放在乙对称的位置即可 【解析】 设想圆桌面只有一枚硬币那么大，当然甲一定获胜．对于一般的较大的圆桌面，由于圆 是中心对称的，甲可以先把硬币放在桌面中心，然后，乙在某个位置放一枚硬币，甲就 在与之中心对称的位置放一枚硬币．按此方法，只要乙能找到位置放一枚硬币，根据圆 的中心对称性，甲定能找到与这一位置中心对称的地方放上一枚硬币．由于圆桌面的面 积是有限的，最后，乙找不到放硬币的地