矩阵的相抵与相似_09_07_09.ppt

例 已知矩阵 （1）问 取何值时， 可对角化？ （2）当 可对角化时，求可逆矩阵 使得 为对角矩阵。 实对称矩阵的对角化 一、几何阐述 二、设 为实数域 上的一个 阶对称矩阵，简称其为实对称矩阵。对于 ，是否存在一个 阶正交矩阵 使得 这就是本节要探讨的核心问题。 关键：求 的 个正交的单位特征向量。 定理 实对称矩阵的特征值都是实数。 定理 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。 定理 对任一 阶实对称矩阵 ，存在 阶正交矩阵 ，使得 其中， 为矩阵 的全部特征值。这是一个非常经典的证明，要求熟练掌握。运用此定理的证明可以证明 Schur 定理： 阶实矩阵 正交相似于一个上三角矩阵的充分必要条件是： 的特征多项式在 复数域 中的根都是实数。 充分性 对实矩阵的阶数用归纳法 显然成立，假设结论对于 阶实矩阵也成立，来看 阶实矩阵 这是一个上三角矩阵 例 已知1,1,-1是3阶实对称矩阵 的特征值，向量 分别为对应于特征值 的特征向量，求矩阵 例 已知3,0,-6是3阶实对称矩阵 的特征值，向量 分别为对应于特征值 的特征向量，求矩阵 （同时可对角化问题） 引理 设 ，且 ，那么 可以对角化当且仅当 都可以对角化。 定理 设 均可以对角化，那么 同时对角化的充分必要条件是 必要性 若存在 使得 那么容易看出 由此即得 充分性 首先假设 为对角形矩阵 其中 为单位矩阵，其阶数为 ，对矩阵实施分块，使之能够与 相乘 其中 的行数与 阶数相同。由于 ，立即可得 ，即 其中 均为方矩阵，有前面的引理可知 都可以对角化，即存在可逆矩阵 使得 为对角矩阵，这里 ，令 那么 均为对角矩阵。 现在设 可以对角化，那么存在可逆矩阵 使得 而且 也是可以对角化的矩阵。根据 可得 再由前面的讨论可知，对于 它们同时可以对角化，即存在可逆矩阵 使得 由此得到 这表明 可以同时对角化。 例 已知 是矩阵 的一个特征向量 （1）确定参数 （2）矩阵 是否可以对角化，说明理由 所以此矩阵不可以对角化 例 设 为一个 阶幂等矩阵，且 ，求 例 已知3阶矩阵 和三维向量 且使得向量组 线性无关，满足 （1）我们记 ，求矩阵 使得 （2）计算行列式 例 设 一个二阶正交矩阵， （1）如果 ，那么 （2）如果 ，那么 例 设 一个三阶正交矩阵，（1）如果 ，那么存在正交矩阵 使得 （2）如果 ，那么存在正交矩阵 使得 例 求下面矩阵的特征值与特征向量 例 设 是数域 上的一个 阶可逆矩阵，试说明：如果 是 的一个 重特征值，那么 是 的一个 重特征值。 证明：设 是 的一个 重特征值，那么 是 的特征多项式 的一个 重根，于是有 且 中不含有因式 将 在复数域内进行因式分解，可得， 其中 是两两互不相同的复数，且它们都不等于 ，从而 的特征多项式为 显然， 是 的特征