第2节 定积分在几何学上的应用.ppt

54 第二节 学习指导 熟练运用定积分计算直角坐标系和极坐标系中平面图形的面积； 熟练运用定积分计算旋转体的体积和平行截面为已知的空间立体的体积； 熟练运用定积分计算平面曲线的长度。 注意事项 直角坐标系中求平面图形的面积时可能选X作为积分变量，也可能选Y作为积分变量，需视具体情况而定；求旋转体的体积时要注意旋转轴和积分变量；要注意平面曲线的数学表达式的具体形式，相应的计算曲线长度的公式有所不同，需区分清楚。 一、平面图形的面积 1、直角坐标系情形 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 例3. 求椭圆 例4. 求由摆线 小结 2. 极坐标情形 在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。 2. 极坐标情形 例5. 计算阿基米德螺线 例7. 计算心形线 立体体积的计算 1、旋转体体积计算方法 2、平行截面面积为已知的立体体积 三、平面曲线的弧长 1、平面曲线的弧长 曲线弧由参数方程给出: 例3. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 内容小结 3. 已知平行截面面积函数的立体体积 例3 计算由摆线x?a(t?sint), y?a(1?cost)的一拱, 直线y?0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积. 解 设曲线左半边为x=x1(y), 右半边为x=x2(y). 所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为 ?6? 3a3 . 体积元素为 例4* 解 　　如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上 垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的 体积也可用定积分来计算. 设立体在x轴上的投影区间为[a, b], 立体内垂直于x轴的截面面积为A(x). 立体的体积元素为 立体的体积为 A(x)dx. 截面面积为A(x)的立体体积： 例5 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角?. 计算这平面截圆柱所得立体的体积. 建立坐标系如图, 则底圆的方程为x2?y2?R2. 所求立体的体积为 解 立体中过点x且垂直于x轴的截面为直角三角形, 其面积为 例6 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积. 建立坐标系如图, 则底圆的方程为x2?y2?R2. 于是所求正劈锥体的体积为 截面面积为A(x)的立体体积： 解 立体中过点x且垂直于x轴的截面面积为 1、平面曲线弧长的概念 2、平面曲线弧长的计算 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 ?→0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 并称此曲线弧为可求长的. 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略) 则称 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 2、平面曲线弧长的计算 （1）直角坐标情形:曲线弧由直角坐标方程给出 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 （2）参数方程情形 （3）极坐标方程情形:曲线弧由极坐标方程给出 所求弧长为 例1 解 例2 解 积分上限函数的性质 成悬链线, 求这一段弧长 . 解: 下垂 悬链线方程为 例4 证 * 高等数学 ● 戴本忠 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第六章 1、直角坐标情形 2、极坐标情形 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 面积元素 例1. 计算两条抛物线 在第一象限所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 两曲线的交点 解 选 为积分变量 解 先求两曲线的交点。 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: 极坐标是二维坐标系 x = r*cosθ, y = r*sinθ, 极坐标简介 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 对应 ? 从 0 变 解: 到 2?