1.2解三角形应用举例(测量距离、高度、角度).doc

福建美佛儿学校自主型发展大课堂数学导学案 班级 姓名 设计者 日期 课题：§1.2应用举例能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ●教学重点 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点 根据题意建立数学模型，画出示意图 ●教学过程 一、课题导入 1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m) 启发提问：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？ 分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。 解：根据正弦定理，得 = AB = = = = ≈ 65.7(m) 答:A、B两点间的距离为65.7米 变式练习：海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，问：B、C间的距离 例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。 分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。 解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=， ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得 AC = = BC = = 计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离 AB = 变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60,求AB间的距离 解：AB=20 评注：在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。 三、当堂训练 1、海上有A、B、C三个小岛，已知A、B之间相距8海里，A、C之间相距5海里，在A岛测得B岛和C岛的视角为60，问：B岛与C岛相距多少海里？ 2、课本第14页练习第1、2题 四、能力提升 1、两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？（解略：a km） 2、在海中有一小岛B，周围3.8海里有暗礁，军舰由向东航行到A，望见岛B在北偏东75，航行8海里岛C，望见岛B在北偏东60，若此军舰不改变航向继续航行，有无触礁危险？（画图p9） 第二课时 测量高度问题 ●教学过程 一、课题导入 提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题 二、讲授新课 [范例讲解] 例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。 分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。 解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得 AC = AB = AE + h = AC+ h = + h 变式训练：在地面A处测得树梢的仰角为60，A与树底部B相距为5cm，问：树高？ 例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m) 解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =. 根据正弦定理有： = AB == 解RtABD中,得 BD =ABsinBAD= 将测量数据代入上式,得BD = =≈177 (m) CD =BD -BC≈177-27