2009-2010高数Ⅱ2试卷(54学时)B卷.doc

院、系领导 审批并签名 B卷 广州大学2009--2010学年第二学期考试卷 高等数学Ⅱ2（B卷）（54学时）参考答案与评分标准 题次 一 二 三 四 五 六 七 总分 评卷人 分数 15 15 18 18 18 8 8 评分 一. 填空题（本题15分，每小题3分） 1. 设，则 2． 3．由抛物线与直线所围图形的面积为 4．若级数 收敛, 则 5．微分方程的通解为 二. 单项选择题（本题15分，每小题3分） 1．函数在点处偏导数存在是它在该点可微的【 C 】 （A）充分必要条件 （B）充分非必要条件 （C）必要非充分条件 （D）既非充分又非必要条件 2．设为连续函数，且，则【 B 】 （A） （B） （C） （D） 3. 设为连续函数，改换二次积分次序【 C 】 （A） （B） （C） （D） 4．设级数，则【 A 】 （A）当时，级数绝对收敛 （B）当时，级数条件收敛 （C）当时，级数绝对收敛 （D）当时，级数发散 5．微分方程待定的特解为【 D 】 (A) (B) （C） （D） 三．解答下列各题（本题18分，每小题6分） 1．设，其中具有一阶连续偏导数，求 解：设 则 ┅┅┅┅ 2分 ┅┅┅┅ 4分 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 2．设函数由方程所确定，求 解：令 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 3．求微分方程的通解 解：该方程为一阶线性微分方程 由常数变易公式，所求通解为 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 四．解答下列积分（本题18分，每小题6分） 1．计算 解：令 则 时 时 原式 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 2．计算，其中由与及轴所围成的闭区域 解： 原式 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 3．设为连续函数，化为极坐标形式的 二次积分 解：记 在极坐标下积分区域 原式 ┅┅┅ 2分 ┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 五. 解答下列级数（本题18分，每小题6分） 1．判断级数的敛散性 解： ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分 所以原级数收敛 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 2．求幂级数的收敛半径和收敛域 解： 收敛半径 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 当时，级数发散 当时，级数收敛 收敛域为 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 3．在区间内，求幂级数的和函数 解：记 则 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 积分得 ┅┅┅┅┅┅ 6分 六．（本题8分）求表面积为，且体积最大的长方体的体积 解：设长方体的长、宽、高分别为、、z 则体积为 且 ┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 令 解得 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 当边长为的正方体时体积最大，最大体积为 ┅┅┅┅┅ 8分 七．（本题8分）空气中物体冷却的速率与该物体的温度和空气温度之差成 比例，若当时空气的温度为，一物体由冷却到须经 过分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的 降低到? 解：设在分钟时，物体的温度为，记为比例常数，则有 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 ， 分离变量得 ， 积分得 ， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 由得 ，， 再由得 ， 故 令，得 ， 共经过60分钟，物体的温度从开始时的降低到 ┅┅ 8分 第 6 页 共 6 页 高等数学Ⅱ2（54学时）试卷（B卷）答案与评分标准