矩阵分析第章.pptVIP

* * * * * 第5次 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第4次 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第3次 * * 原第3次 * * * * * * * * * * * 实二次齐次与实正定矩阵 * 它们是上面介绍的(复)二次齐次与(复)正定矩阵的特殊情况. * 祥见定义3.9.2和定理3.9.5—3.9.7. 例3.9.1 若A,B为同阶正定Hermite矩阵,则det(?B-A)=0的根全为正数. 证:B正定 ? 有可逆矩阵P使P*BP=E; A正定 ? P*AP正定 ? det(?E-P*AP)=0的根全为正 (P*AP的特征值全为正).但 0=det(?E-P*AP)=det(P*(?B-A)P) =detP*detPdet(?B-A)=|detP|2det(?B-A). 因P为可逆矩阵,detP?0,从而det(?E-P*AP)=0等价于det(?B-A)=0,得证det(?B-A)=0的根全为正数. 广义特征值与广义特征向量 命题A,B?Hn?n且B正定,则det(?B-A)=0的根全为实数. 证:B正定 ? 有可逆矩阵P使P*BP=E; A?Hn?n ? P*AP?Hn?n ? det(?E-P*AP)=0的根全为实数(?(P*AP)的元全为实数).但 0=det(?E-P*AP)=det(P*(?B-A)P) =detP*det(?B-A)detP=|detP|2det(?B-A). 定义3.10.1 若A,B?Hn?n且B正定,则广义特征值?: Ax=?Bx, x?0 ⑴ 全为实数.(因?满足⑴ ? det(?B-A)=0,即广义特征值 ? 是 det(?B-A)=0 的根) *二矩阵经复相合变换同时对角化 定理3.10.1 若A,B?Hn?n B为正定,则有T?Cnn?n使 T*AT=diag(?1,…,?n),T*BT=diag(1,…,1)=E ⑴ {?1,…,?n}与T无关. 证:有T1?Cnn?n使T1*BT1=E.因T1*AT1?Hn?n 故有T2?Un?n使T2*T1*AT1T2=diag(?1,…,?n), ?i?R. 令T=T1T2?Cnn?n,则 T*AT=diag(?1,…,?n),T*BT=T2*T1*BT1T2=T2*T2=E, 得证⑴成立. 易见: ?1,…,?n是det(?E-T1*AT1)=0的根.但 det(?E-T1*AT1) =det(?T1*BT1-T1*AT1)=|detT1|2det(?B-A) 因此,?1,…,?n是det(?B-A)=0的根与T无关.证毕 ∵有T2?Un?n使T2*T1*AT1T2=diag(?1,…,?n), ∴ diag(?1,…,?n)=T2-1T1*AT1T2 ∽ T1*AT1 {?1,…,?n}=?(diag(?1,…,?n))=?(T1*AT1) 是det(?E-T1*AT1)=0的根 *二矩阵经复相合变换同时对角化续 定理3.10.4 若A,B?Hn?n B为正定,则有行列式等于1的矩阵P?Cnn?n使 P*AP=diag(a1,…,an),P*BP=diag(b1,…,bn) (1) 证:由定理3.10.1有T?Cnn?n使 T*AT=diag(?1,…,?n), T*BT=E. 令 P=(1/detT)1/nT,则 detP=1 且满足条件(1)(详见教本第174-175页). Rayleigh 商 定义3.11.1 由Hermite矩阵A定义的从Cn–{0}到R的下列函数:R(x)=x*Ax/x*x 称为矩阵A的Rayleigh商. 定理3.11.1 Reyleigh商有下列主要性质: ①R(x)为x的(0次)齐次函数: ?0?k?C,R(kx)=k0R(x)=R(x) ②令?(A)已按大小排序:?1? … ??n , 则 ?x?0, ?1?R(x)??n ③ minx?0R(x)=?1=min{?1, … ,?n}; maxx?0R(x)=?n=max{?1, … ,?n}. m次齐次函数 定义 函数f(x)称为x的(m次)齐次函数: ?0?k?C,f(kx)=kmf(x) 例： a,x?Cn, g(x)=aTx=a1x1 +…+anxn 是一次齐次函数； A?Hn?n, x?Cn, f(x)=xTAx= 是二次齐次函数. 证：?0?k