8.27课上数学建模案例分析.pptVIP

数学建模案例 微分方程模型 消去参数 解法二(数值解法) 1．建立M文件eq1．m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x); 2． 取x0=0，xf=0．9999，建立主程序ff6．m如下： x0=0,xf=0.9999 [x,y]=ode15s(eq1,[x0 xf],[0 0]); plot(x,y(:,1),b) hold on y=0:0.01:2;plot(1,y,*r) 结论: 导弹大致在（1，0．2）处击中乙舰. To MATLAB(ff6) 令y1=y, y2=y1’，将方程（3）化为一阶微分方程组． * * * * * * * 实验目的 实验内容 1．学会用MATLAB分析求解微分方程模型． 2．实验作业． 1． 数学建模实例． 鸭子过河问题 慢跑者与狗的问题 导弹追踪问题 为什么要建立模型来解决问题呢？ 我认为可用“曹冲称象”的例子来说明，如图3。 大 象 石 头 大象重量 石头重量 变 图 3 小称 思想方法的体现 奥妙之一：直接去研究、解决问题（图中沿虚线路径），往往很困难，有许多局限性。建立模型是变“直接”为“间接”，能克服局限性，富于智慧。例如没有大秤不能直接称大象，将大象变成石头，对于大象重量而言，这些石头就是大象的模型，问题简化了，就可以用小秤来称大象了； 奥妙之二：是同一问题，模型可以多种，充满灵活性，如大象“变成”木头也可以； 奥妙之三：是建立模型解决问题如“大象”变“石头”说明模型不是死板地“照像”，而是能充分发挥人的能动性，如可以简化问题、突出重点，又如可以猜想、创造等等。 示例1 鸭子过河 有只鸭子想游到河对岸的某个位置O，如果它的方向始终朝着目标O。求这只鸭子的游动曲线。 模型假设 假设河的两岸为平行直线，河宽为h; 鸭子游水的速率为b, 水流速率为a, 均为常数; 初始时鸭子的位置为A; 鸭子游动的方向始终指向O. 模型建立 取O为坐标原点，河岸朝顺水方向为x轴，y轴指向对岸。 关键是如何求出P点坐标(x,y)关于时刻t的表达式. t时刻鸭子本身的速度为 河水速度为 所以合速度为 即 又由初始条件有 (1.1)(1.2) 就是所求问题的一个微分方程模型。 (1.2) (1.1) 模型求解 设时间步长为Δt, 则 (1.3) 当yi0时, 说明鸭子已经到达河对岸，应停止计算. 由(1.3)可以算出ti时刻鸭子的位置的近似值. i xi yi i xi yi 1 0 10 12 2.0120 3.5928 2 0.3000 9.4000 13 2.0188 3.0693 3 0.5809 8.8003 14 1.9891 2.5680 4 0.8413 8.2016 15 1.9217 2.0937 5 1.0801 7.6047 16 1.8160 1.6516 6 1.2957 7.0107 17 1.6721 1.2479 7 1.4867 6.4207 18 1.4913 0.8891 8 1.6513 5.8362 19 1.2759 0.5818 9 1.7880 5.2588 20 1.0300 0.3329 10 1.8949 4.6908 21 0.7591 0.1484 11 1.9701 4.1344 22 0.4702 0.0333 例如取a=1, b=2, h=10, Δt=0.3, 则求得结果为 计算(1.3)的Matlab代码 a=1;b=2;h=10;dt=0.3; i=1; p=[0,h]; while p(2)0 i=i+1; v=[a-b.*p(1)./sqrt(p(1).^2+p(2).^2),-b.*p(2)./sqrt(p(1).^2+p(2).^2)]; p=p+v.*dt; hold on plot(p(1),p(2),p) end p 所求得的鸭子经过的路线如右图所示。 慢跑者与狗 一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率v=1跑步,设椭圆方程为: x=10+20cos t, y=20+5sin t． 突然有一只狗攻击他． 这只狗从原点出发,以恒定速度 跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者．分别求出 =20, =5时狗的运动轨迹． 1.模型建立 设t 时刻慢跑者的坐标为(