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第八章　弹性散射 散射的描述方法 波恩近似---高能粒子散射 分波法---低能粒子散射 本章作业 P495: 5, 6 * * 微分散射截面 弹性散射---散射过程中粒子间仅动能交换, 其内部状态不变. (8.1) ---散射中心, 假定不动. ---散射角, 入射与散射方向夹角. 单位时间散射到 方向立体角 内的粒子数: ---入射粒子流强度, 即单位时间、单位面积入射的粒子数. ---微分散射截面, 即散射到 方向上单位立体角中的概率, 是散射理论需要求解的核心问题. 散射振幅 (8.2) 散射粒子波函数满足的薛定谔方程: 设观察点离散射中心足够远, 脱离了 的作用, 则: (8.3) 其中: 入射平面波 (8.4) 散射球面波 (8.5) ---散射振幅, 可求解(8.2)得到. 可导得(见下页): (8.6) 因此, 散射问题归结为求出散射振幅. (8.7) 推导如下: 由于: (8.8) (8.9) 则: (8.10) 其中 为入射(散射)粒子概率流密度(大小): 以上两式代入(8.8)便得: (8.11) 把薛定谔方程(8.2)改写为: (8.12) 其中 为入射粒子波数, 定义格林函数: (8.13) 则: (8.14) (8.14)称Lippman-Schwinger积分方程, 将之代入(8.12), 利用(8.13)并注意到 为齐次方程: (8.15) (8.16) 的通解, 从而可以得到验证. 可求解方程(8.13)得(待下面证明): (8.17) (8.18) 代入(8.14)得: 上述积分方程可用迭代法近似求解, 并取到一级近似(即波恩近似)得: (8.19) 即: (8.20) (8.17)证明如下: (8.21) (8.22) (8.23) 将格林函数做付里叶积分变换: (8.24) 代入(8.13)并注意到: 得: 从而: (8.24)积分如下: (8.25) 其中: (8.26) (8.25)被积函数中当 时实轴上出现一阶奇点, 需引进虚数: (8.27) 此时位于上半复平面的两个极点为: (8.28) 取上半平面的积分回路, 利用留数定理得: 代入(8.27)便得(8.17), 即: (8.29) 证毕 此外, 波恩一级近似结果(8.20),即: (8.30) (8.31) 在远场处: , 则: (8.32) 得: (8.33) 即: 其中: (8.34) 把(8.33)与球面波: (8.35) (8.36) (8.37) 比较得: (8.38) 由于 与 大小相等, 夹角为 , 则: 对于有心力势, (8.36)可进一步简化为: (8.39) 最后得波恩近似下的微分散射截面为: (8.40) 例8.1: 求屏蔽库仑场: (8.41) 中粒子的微分散射截面. (8.42) 解: 高能入射粒子且散射角较大时: 则: 为经典的Rutherford散射公式. 在有心力场且关于 轴对称下, 可把入射平面波用球面波(每个球面波即为一个分波, 故称分波法)展开为: (8.43) 其中 为球Bessel函数, 其渐近行为: (8.44) (8.45) 另一方面, 薛定鄂方程: 其解也展开为: (8.46) 接下来的任务是求出径向波函数 . (8.47) (8.48) (8.49) 径向波函数满足的薛定鄂方程: (8.50) 当 时, , 令 , 则得: 上式通解: 因此: 上式为接下来与入射波比较方便,已换用新的常数 . 代入(8.46)得: (8.51) (8.52) 另一方面: (8.53) 令(8.51)和(8.52)相等并把三角函数写成指数形式得: 上式成立的条件为: (8.54) (8.55) (8.56) 由(8.55)得: (8.57) (8.58) (8.59) 代入(8.54)得散射振幅: 微分散射截面: 总散射截面(对 积分): 可见, 分波法最终需要算出各分波的相移 . 讨论: (8.60) (8.61) 之前的几个分波, 其中 为散射势有效半径. 1. 计算相移时, 仅需计