高考试题教学运用与探究(发表稿)：复合函数的单调性9.26修改后.docVIP

复合函数的单调性的求解策略 我们知道，在复合函数中，若内层函数在区间上具有单调性，当时，，且外层函数在区间上也具有单调性，则复合函数在区间上一定是单调函数．其规律为：同增同减复合增，增减相异复合减．简而言之“同为增，异为减”. 函数的单调性是高考的重点和热点内容之一,其中复合函数的单调性是高中数学的一个难点. 如何求解复合函数的单调性呢？ 一、外层函数与内层函数均为一种单调性的复合型 【例1】函数在上单调递减，则的取值范围是 （A） （B）（C） （D）； （2）还原复合函数的复合过程：此函数是由函数复合所得； （3）内层函数的单调区间：因，函数在上单调递减，且； （4）外层函数的单调区间：当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增； （5）因为函数在上单调递减，而函数在上单调递减，根据复合函数的单调性规律，可知：，且. 故答案为B. 【评注】研究函数的单调区间必须遵循“定义域优先”的原则，不能忽视在恒成立. 【变式1-1】函数在上单调递增，则的取值范围是 （A） （B）（C） （D）的值域是 （A） （B） （C） （D） 二、外层函数只有一种单调性，内层函数有多种单调性的复合型 【例2】求函数的单调区间． 【解析】（1）函数的定义域：； （2）还原复合函数的复合过程：此函数是由函数复合所得； （3）内层函数的单调区间：函数在单调递减，单调递增； （4）外层函数的单调区间：函数在上单调递减； （5）根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：复合函数在单调递增，单调递减． 【评注】探求此类复合函数的单调性的五环节：（1）确定定义域，函数的单调区间必须是函数定义域的子区间；（2）还原复合函数的复合过程；（3）确定内层函数的单调区间；（4）确定外层函数的单调区间；（5）根据复合函数的单调性规律，给出复合函数的单调区间.在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以，但，若单调区间端点在定义域之中，最好用“闭”，否则，用“开”． 【变式2-1】（2013福建）函数的图象大致是 B． C． D． 的单调递增区间是 （A） （B）（C） （D）的单调区间是 . 【解析】（1）此函数的定义域：； （2）此函数是由函数复合所得； （3）内层函数的单调区间：函数在单调递减，单调递增，单调递减，单调递增； （4）外层函数的单调区间：函数在单调递减； （5）根据复合函数的单调性规律，复合函数的单调区间：函数在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减． 【评注】函数既在单调递增，又在单调递增，但是，不能说函数在单调递增． 【变式2-3】函数在上是增函数，求的取值范围． 的单调区间． 【解析】（1）此函数的定义域：； （2）此函数是由函数复合所得； （3）内层函数的单调区间：函数在单调递减； （4）外层函数的单调区间：函数在单调递减，单调递增； （5）根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：函数在单调递增；在单调递减． 【评注】给出复合函数的单调区间，必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的范围，必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的范围. 【变式3-1】函数的单调递减区间是 ；单调递减区间是 . 【变式3-2】函数的单调递增区间是 （A） （B）（C） （D）则的递增区间是 . 【解析】（1）此函数的定义域：； （2）此函数是由函数复合所得； （3）内层函数的单调区间：函数在单调递减，在单调递增； （4）外层函数的单调区间：在单调递减，在单调递增， （5）根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：函数在单调递减，，单调递增，单调递减，单调递增. 答案：，. 【变式4-1】已知函数则 （A）上是减函数 （B）上是减函数 （C）上是增函数 （D）上是增函数 【例6】函数的单调性判断错误的是 （A）单调递减 （B）单调递增 （C）单调递减 （D）单调递增 解析：（1）此函数的定义域：； （2）此函数是由函数复合所得； （3）子函数的单调区间：函数在单调递增，在单调递减； （4）母函数的单调区间：函数在单调递减，此时；在单调递增，此时． （5）根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间： 函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，在 单调递增. 故答案为B. 【变式4-2】（2014年全国卷若函数在区间是减函数，则的取值范围是________．的单调递增区间是 . 变式训练答案： 【变式1-1】答案： A. 提示：因为，所以内函数单调递减，又因为复合函数在上