Ch10 相关系数和Copula函数.pptVIP

本章主要内容 相关系数定义 相关系数估计 多元正态分布 Copula函数 Copula函数应用于贷款组合 Copula函数 已知联合分布可以确定边缘分布。 当已知了两个随机变量的边缘分布，怎样来估计他的联合分布？ Copula函数方法提供了一个估计联合分布的方法。 基本思想：等概率投影到已知的联合分布函数上，通过随机变量的替换反推出未知联合分布。 作业题 P158-160页： 按学号的最后两位数作相应的练习题和作业题。 贷款组合模型 我们把公司i违约的时间Ti映射到一个新的变量Ui ，并且假设 其中 F 和Zi 服从正态分布，并且相互独立 定义 Qi 为Ti的累积概率分布 Prob(UiU) = Prob(TiT) when N(U) = Qi(T) 贷款组合模型 贷款组合模型 在时间维度为T和置信区间为X的水平上，组合的违约率最坏的情况是 其VaR为 其中 L 是组合贷款的额度 ，R 是违约回收率 * * * * * 金融风险管理，第十章，闫海峰，南京财经大学金融学院，2011 * 金融风险管理，第十章，闫海峰，南京财经大学金融学院，2011 金融风险管理 第十章 相关系数和Copula函数 相关系数和协方差 变量V1和V2的相关系数定义为： 协方差是 E(V1V2)?E(V1 )E(V2) 独立性 如果两个变量V1、 V2，其中任意一个变量的信息不会影响另一个变量的分布，那么这两个变量就是独立的，即 其中， f(.)代表变量的概率密度函数 独立性不等同于不相关 假设 V1 = –1, 0, 或者 +1 (等可能性的) 如果V1 = -1 或者 V1 = +1 t那么 V2 = 1 如果V1 = 0 那么 V2 = 0 显然V2 的值取决于V1 (反之亦然) 但是这两个变量的相关系数却为0 几种关联形式(表 10.1) E(Y) X E(Y) E(Y) X (a) (b) (c) X 监测变量X和Y的相关系数 变量的协方差是用变量的收益率协方差定义 定义变量 xi=(Xi?Xi-1)/Xi-1 ，yi=(Yi?Yi-1)/Yi-1 varx,n: 在第n-1天计算的变量X的每天的方差 vary,n: 在第n-1天计算的变量Y的每天的方差 covn: 在第n-1天计算的协方差 第n天的相关系数是 协方差 在第n天的协方差是 E(xnyn)?E(xn)E(yn) 上述公式通常近似表示为E(xnyn) 监测相关系数 EWMA: GARCH(1,1) 协方差一致性条件---正定条件 一个方差-协方差矩阵W ，如果对于所有的向量W，都有如下半正定条件 那么，这个方差-协方差矩阵就满足内在一致性条件 例子 以下的方差-协方差矩阵就不满足内部一致性条件 二元正态分布 假设在变量V1取某一特定值的条件下，变量V2的条件分布为正态分布，其期望值为 标准差为 ，其中 m1,, m2, s1, 和 s2 分别为变量V1、 V2的无条件均值和标准差， r为变量V1、 V2的相关系数 多元正态分布 处理上相对简便 方差-协方差矩阵定义了变量之间的方差和相关系数 为了满足内部一致性的条件，方差-协方差矩阵必须是半正定的 基于蒙特卡罗模拟产生的随机抽样 在Excel中，=NORMSINV(RAND())能产生一个来自于正态分布的随机样本 对于多元正态分布， Cholesky’s分解方法通常用来产生随机样本 因子模型 如果有N 个变量 Vi (i = 1, 2,..N), 那么在一个多元正态分布中有N(N?1)/2 个相关系数 我们能够通过估计因子模型的方法来减少相关系数参数的数量 单因子模型 如果Ui 满足标准正态分布，那么 其中，共同因子F和特殊因子Zi服从标准正态分布且相互独立 变量Ui 和Uj 的相关系数是ai aj 高斯Copula 函数模型: 用于对不服从正态分布的变量生成相关结构 假设我们想对变量V1、 V2定义一个相关结构，但V1、 V2不服从正态分布 我们把变量V1映射到一个新的服从标准正态分布的变量U1上，这种映射为分位数与分位数之间的一一映射 变量V2也按变量V1的方法映射到新的变量U2 上 变量U1、 U2服从二元正态分布 变量V之间的相关结构可以由变量U来定义 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 V 1 V 2 -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 U 1 U 2 One - to - one mapping