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        应用偏微分方程与科学计算  讲义（十七）  Lecture Notes on   Applied Partial Differential Equations and Scientific  Computing  No. 17    马 石 庄            2010．11．15．北京      1    第 17 讲 调和函数与 Green 定理    教学目的       空间的维数的增加带来物理世界的多样性和复杂性。Laplace 方 程的解是调和函数，是一维空间线性函数的推广，体现着空间维数增 加后的新现象以及数学分析上的问题。美妙的复变函数论只能用于解 二维问题，Green 开创的位势理论具有重要的理论和应用价值。  主要内容  §1 调和函数  3  1.1 Laplace 方程的导出  4  1.2 不变性与基本解  9  1.3 极值定理  10  §2 二维问题  14  2.1 矩形区域  14  2.2  圆形区域  17  2.3 解析函数  20  §3 Green 恒等式  26  3.1 散度定理  27  3.2 Green 恒等式  29  3.3 第三 Green 恒等式  30  习题 17  33  2      作为一维线性函数在高维空间的推广，Laplace 方程的解，调和 函数（Harmonic function ）比一维线性函数更丰富的空间变化，且具 有强极值定理，Liouville 定理以及解析性等一系列重要性质，在偏微 分方程理论中具有重要的地位，仍然发挥重要的作用。  引入记号 ， ， ，Laplace 算子  ∆ div grad   则 Poisson 方程可以一般地写为