多元微分学应用.pptVIP

4．设 其中 可导，求 5．设 求 6．设 由方程 确定， 求 7．已知 而 是由 确定的 的函数，求 8．设方程 确定 为 的函数， 求 9．求曲面 平行于 的切平面方程． 10．求曲线 在点 处的切平面与法线方程． 11．在椭球面 上求一点，使函数 在该点沿方向 的方向导数为最大． 12．设有 个正数，其和为定值 问在什么条件下，其乘 积最大，并由此导出 13．求曲面 的一张切平面，使其在三 个坐标轴的截距之积为最大． 简 答 1． 不存在， 2．⑴ ⑵ 3．⑴ ⑵ 4． 5． 6． 7． 解方程组 8． 9． 切平面法向 且平面和已知平面平行， 代入曲面方程，得切点为 故切平面方 程为 及 10． 因 所以在该点的切向量为 故切线 法平面 11． 因 所以 得方程为 该方程之解为 比较方向导数值，则有 为所求之点． 12． 设 得 即 13． 曲面在点 处的切平面的法向量为 切平面方程为 截距之积为 构造函数 解此方程得 故切平面方程为 4．方向导数与梯度 二元函数的方向导数 三元函数的方向导数 其中 梯度: 注: 梯度方向为方向导数取最大值的方向． 量． 为与 同向的单位向 几何应用 三、应用 2．几何应用: 1．近似计算 曲线 曲面 切线 法平面 切平面 法线 曲线: 参数方程情况 切线: 法平面: 一般方程 切线: 法平面: ? 在该点的切线可以看作为两曲面在该点切平面的交线: 点 则曲线 一般方程 曲面 切平面方程: 法线方程: 曲面方程: 点 在曲面上， 3．极值问题． 必要性: 可导的极值点是驻点; 充分性: ⑴无条件极值 则 极小值; 极大值; 非极值． 不定; ⑵条件极值 方法: 1．构造Lagrange函数 2．解方程组 问题: 单条件极值 求函数 下的条件极值． 在条件 方法：1．构造Lagrange函数 2．解方程组 3．对方程组的解进行讨论． 问题: 两条件极值 求函数 下的条件极值． 在条件 3．对方程组的解进行讨论． 例题选讲 处的外法向量，求 例15 设 是曲面 解 令 因 取外法线方向，故 导数． 则: 在点 在点 处沿 的方向 所以: 又: 从而 处沿哪个方向的方向导数最大？并求此最大值． 例16 函数 解 因为梯度方向即为最大方向导数方向． 在点 为最大方向导数方向． 最大方向导数为 例17 设 是椭圆上离 P 最近的一点，证明 证 设动点 为曲线上的点，则两点间的距离为 则问题转变为函数 是椭圆 外的一点，若 是椭圆 的法线． 在点 因此在点 处，有 即 处取到极值． 为此作函数 从而直线 的斜率为 此斜率恰为曲线在该点法线方向的斜率． 例18 求曲面 且