千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第99炼归纳推理与类比推理试卷.doc

第99炼 归纳推理与类比推理 一、基础知识： （一）归纳推理： 1、归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳），简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理 2、处理归纳推理的常见思路： （1）利用已知条件，多列出（或计算出）几个例子，以便于寻找规律 （2）在寻找规律的过程中，要注意观察哪些地方是不变的（形成通式的结构），哪些地方是变化的（找到变量），如何变化（变量变化的规律是的函数对任意记则称函数为的次迭代对于一些特殊的函数解析式其通常具备某些特征特征与有关在处理此类问题时要注意观察解析式中项的次数式子结构以及系数的特点以便于从具体例子中寻找到规律得到的通式进行表示其中代表行代表列例如表示第行第列在题目中经常会出现关于某个数的位置问题解决的方法通常为先抓住选取数的特点确定所求数的序号再根据每行元素个数的特点数列的通项求出前行共含有的项的个数从而确定该数位于第几行然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个即列乘法数乘系数与项的乘法指数幂除法，和差完全平方公式 均可推广到向量数量积中， ②在复数的运算中，满足交换律与分配律，则实数中的运算公式可推广到复数中（甚至是二项式定理） （3）等差数列与等比数列的类比：等差数列的性质通常伴随着一，二级运算（加减，数乘），等比数列的性质通常伴随着二，三级运算（乘除，乘方）。所以在某些性质中体现出运算上的类比。例如：设为等差数列；为等比数列公比为则 ② 通项公式： ③ 双项性质： ④ 等间隔取项，在数列，中等间隔的取项成等差数列 成等比数列空间中的面的关系线所成的角线面角或二面角图形的面积图形面积几何体体积点到线的距离点到平面距离内切圆内切球外接圆外接球面对角线体对角线空间直角坐标系坐标在有些坐标运算的问题中只需加上竖坐标的运算即可完成推广例如，则中点 ，则中点，则 ，则，定义 经计算 照此规律则 B. C. D. 思路：由定义可知：即为的导函数通过所给例子的结果可以推断出从而所以例2：蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第六幅图的蜂巢总数为（ ） A. B. C. D. 思路：从所给图中可发现第个图可以视为在前一个图的基础上，外面围上一个正六边形，且这个正六边形的每条边有个小正方形设第，则可知比多的蜂巢数即为外围的蜂巢数即 每条边个其中顶点被计算了两次），所以有联想到数列中用到的累加法，且 则。代入可得出现在A. 第44行第78列 B. 第45行第78列 C. 第44行第77列 D. 第45行第77列 思路：从数阵中可发现每一行的末尾均为一个完全平方数，即第行最后一个数为较近的完全平方数，所以位于第行因为是第为第个数即位于中各边和它所对角的正弦比相等即若把该结论推广到空间则结论为在三棱锥中侧棱与平面平面所成的角为则有 B. C. D. 思路：本题为维度推广题，平面中的线段所成的夹角推广为线面角，所以可将正弦定理的边长（一维度量）类比推广为面积（二维度量），正弦定理中为角所对的边长，则在三棱锥中推广为线面角所对的侧面面积，即所对的侧面为平面所对的侧面为平面，再考虑证明其正确性证明过程如下作平面平面的垂线垂足分别为 同理： 得证，其中为其边长为内切圆半径利用类比法可以得出四面体的体积为（其中分别为四个面的面积为内切球的半径（为底面面积为四面体的高（其中分别为四个面的面积为内切球的半径（为底面边长为四面体的高，所以面积其中来源于三角形面积公式进而类比到四面体中可通过连接内切球的球心与各顶点将四面体分割为。系数来源于棱锥体积公式是等比数列且则数列也是等比数列若数列是等差数列可类比得到关于等差数列的一个性质为是等差数列是等差数列是等差数列是等差数列数列是等差数列则是等差数列这个命题是正确的证明如下的公差为则 为等差数列 为公差是的等差数列的三次幂可用奇数进行一下方式的分裂，，，…，仿此，若的，则的值是 B. C. D. 思路：观察这几个等式不难发现以下特征：（1）可分解为个连续奇数的和开始这些奇数是按 顺次排列的所以在第个数时