§32和角公式.PDFVIP

§3−2 和角公式 (甲)和角公式 (1)公式一： cos(α−β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ 證明 ：先做一單位圓 ，如右圖其中A(cosα，sinα) 、B(cosβ，sinβ) ，∠AOB=α−β ， 因為⎯2 2 2 AB =(cosα−cosβ) +(sinα−sinβ) =2−2(cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ) 2 2 2 利用餘弦定理： AB = OA +OB −2OA ⋅OB cos(α−β) ⎯2 2 2 所以 AB =1 +1 −2 ⋅1⋅1⋅ cos(α−β)=2−2 cos(α−β) 由可得cos(α−β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ y 討論： α α A(cos ,sin ) β β (a)如果 A,O,B 共線上述的結果會成立嗎？ B(cos ,sin ) (b)α−β π 時，上述的結果會成立嗎？ x O (1.0) (2)公式二： cos(α + β)=cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ 證明： (3)公式三： sin(α + β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ 證明： (4)公式四： sin(α−β)=sinα⋅cosβ−cosα⋅sinβ 證明： tanα+tanβ (5)公式五： tan(α + β)= 1−tanα⋅tanβ 證明： tanα−tanβ (6)公式六： tan(α−β)= 1+tanα⋅tanβ 證明： ~3−2−1~ [注意] ： 和角公式的精神： 已知兩個角度的三角函數，即可得兩個角度的和或差的三角函數。 [例題1] 試求cos15° ° ° ，sin105 ，tan75 之值。 ° 6 + 2 ° 6 + 2 ° Ans ：cos15 = ，sin105 = ，tan75 =2+ 3 4 4 π 3π −3 −12 [例題2] 設2απβ 2 ，且cosα= 5 ，sinβ= 13 ，試求 (1)sin(α +β ) = ；(2)cos(α−β)= 。 (練習1) 計算下列各小題： ° ° °