第四章频域试卷.doc

频域分析 4.1 概述 频域分析法 定义 所谓信号的频域分析，就是根据信号的频域描述（如DFT、FFT等）对信号的组成及特征量进行分析和估计。 频域分析的目的 确定信号中含有的频率组成成份（幅值、能量、相位）和频率分布范围； 分析各信号之间的相互关系； 通过系统的输入与输出频谱，求得系统的传递函数，识别系统的动力学参数； 通过频谱分析，寻找系统的振动噪声源和进行故障诊断； 频谱 定义 所谓频谱，也就是信号的频域描述。 分类 对于不同的信号和分析参数，我们可以用不同类型的频谱来表示。 周期信号：离散的幅值谱、相位谱或功率谱 非周期信号：连续的幅值谱密度、相位谱密度或功率谱密度 随机信号：具有统计特征的功率谱密度 功率谱 自功率谱：一个信号的能量（功率）沿频率轴的分布； 互功率谱：分析两个信号的互相关情况； 注意：由于互谱是从互相关的角度来描述信号的，所以互谱本身并不含有信号功率的意义。 相干分析 所谓相干分析，是指通过求解两个频谱的相干函数来研究它们之间的相关程度（如系统输出频谱与输入频谱的相关程度）。 谱估计 定义 由于我们所研究的实际信号通常是含有确定性信号的随机信号，且信号的测试只能在有限时间内进行，因此，我们不可能按定义从无限区间求得真实的频谱，而只能在有限域中进行计算（比如，由有限长的离散采样序列来求得频谱）。这种频谱实际上只是真实频谱的一种估计值，故称为谱估计。 分类 目前，谱估计方法大致可以分为： 经典法（线性估计法）——用传统的傅里叶变换分析方法求谱。它又包括： 间接法（相关估计法）——由数据的自相关序列求功率谱； 直接法（周期图法）——由数据直接用离散傅里叶变换求功率谱； 现代法（非线性估计法）——用参量信号模型来估计谱。它又包括： 自回归信号（AR）模型 滑动平均（MA）模型 自回归滑动平均（ARMA）模型 4.2 功率谱分析及应用 功率谱分析的目的 进行功率谱分析的目的在于：研究信号的能量（或功率）的频率分布，并突出信号频谱中的主频率。 注意：这里我们着重介绍自功率谱的分析，以下都简称为功率谱。 功率的概念 一般来说，信号的功率与其幅度的平方成正比，相应的谱称为功率谱。 在时域内，任何实信号x(t)的平均功率定义为 式中，|x(t)|2为信号x(t)的瞬时功率。若积分收敛，则表示信号x(t)的总能量。 帕塞瓦（Parseval）定理 下面我们将推导信号x(t)的功率与其频谱之间的关系，即帕塞瓦定理。 数学推导 设实信号x1(t)、x2(t)的频谱分别为X1(jΩ)、X2(jΩ)，即 则由傅里叶变换（FT）的反、正变换定义式，可得 上式表示功率定理。若实信号x1(t)=x2(t)= x(t)，即X1(jΩ)=X2(jΩ)= X(jΩ)，则由上式结论，得 （4.2.1） 上述关系式表明了信号x(t)的功率与其频谱之间的关系，我们通常将称为帕塞瓦定理。 说明 （4.2.1）式中的实函数|X(jΩ)|2离散时，称为功率谱（或能量谱）；若为连续时，则称为功率谱密度（或能量谱密度）； （4.2.1）式中含有幅度谱绝对值的平方|X(jΩ)|2，但未给出其相位信息，这表明：若仅给定信号的功率，则无法恢复信号；对于幅度谱相同，相位谱不同的信号而言，其功率谱相同； 由FT的时移定理和尺度变换定理，我们不难导出信号的时移和时域展缩对其功率谱的影响：当信号发生时移时，即t→t±t0，则功率谱不变；当信号作时域展缩时，即t→kt，则功率谱将降低为原来的1/k倍。 注意：上述讨论中假定：信号x(t)的总能量和平均功率都是有限的。这是（4.2.1）式所示的帕塞瓦定理成立的前提。 若信号x(t)的总能量无限，但其平均功率有限（如海浪波动）时，则我们只考虑其在T内的有限部分，于是我们可用下式来代替（4.2.1）式所示的帕塞瓦定理，即 式中，|X(jΩ)|2/T称为功率谱密度。 功率谱的计算 相关估计法（又称自相关法） 所谓相关估计法，就是利用DFT的快速算法来计算信号的相关函数，进而求得随机序列的功率谱估计值的方法。 因此，要用相关估计法来求解功率谱，我们应首先弄清两个问题： 相关函数与功率谱之间有何关系？ 如何利用DFT的快速算法来计算信号的相关函数？ 维纳-欣钦定理 维纳-欣钦定理：实平稳随机序列的功率谱密度P(ejω)与序列的自相关函数rxx(m)是一对傅里叶变换，即它们满足序列的傅里叶变换公式 （4.2.2） 由此可见，维纳-欣钦定理就是我们要找的解决问题的理论依据。这样，利用该定理，我们就能由信号的自相关函数来求得其功率谱密度。 注意：上述定理要求序列的长度为无限长，但在实际中只能通过计