从而得到.DOCVIP

§5. 1? 电磁场的矢势和标势 1、用势描述电磁场 ???? 为简单起见，只讨论真空中的电磁场。由Maxwell’s equations出发 ? 这里 ????大家知道，齐次方程 ，显然 的散度为零意味着?是某个矢量的旋度，即 ????????????????????????????????? ?的物理意义可由下式看出 ???????????????????????????? ? 即在任一时刻，矢量沿任一闭合回路L的线积分等于该时刻通过以L为边线的曲面S的磁通量。?? 在非稳恒情况下，。因而不能象在静电场时那样引入电势来描述电场 。 一般情况下，电场 一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发。因此，是有源和有旋的场，的等式中必然包含矢量 ，从而由Faraday电磁感应定律可得： ??? 因为时间和空间皆为独立变量，故? 与?可交换位置。于是? ?????? 故? 可以看成一个矢量 ?矢量? 的旋度为零，意味着它可表示为某个标量函数的梯度，因此? ???????????????????????????????? ? 这里，仍用?来表示这个标量函数，并且右边采用 “负号” 以便与时间无关时仍回到静电场情形中去，即电场为 ??? 至此，我们既可以直接用场量?、来描述电磁场，也可以用矢量? 和标势? 一起来描述电磁场，而两种描述方式的等价性的桥梁（bridge）就是 注意： ???? a) 当与时间无关，即 时,且 ,这时就直接归结为电势；? ????? b)? 绝对不要把? 中的标势与电势?混为一谈。因为在非稳恒情况下，不再是保守力场，不存在势能的概念，这就是说现在的? ，在数值上不等于把单位正电荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为了区别于静电场的电势，把这里的 称为标势. ????c) 在时变场中，磁场和电场是相互作用着的整体，必须把矢势 和标势? 作为一个整体来描述电磁场。 2、规范变换和规范不变性 ????? 虽然?和 ，以及和是描述电磁场的两种等价的方式，但由于 、 和? 、 之间是微分方程的关系，所以它们之间的关系不是一一对应的，这是因为矢势 可以加上一个任意标量函数的梯度，结果不影响，而这个任意标量函数的梯度在 ???????????????????????????????? ? 中对 要发生影响，但将 中的与此融合也作相应的变换，则仍可使保持不变。 ???? 现在来研究，唯一地决定场的势可以确定到什么程度。 设为任意的标量函数，即? ，作下述变换式： 　于是我们得到了一组新的? ，很容易证明： ?????????????? ?????????????? ? ???? 由此可见，和? 描述同一电磁场，换句话说，对于同一电磁场?和 ，其势的选择并不是唯一的，通过变换式可以找到无穷组?而对应同一个场。从变换式可以看出，矢势仅仅确定到一个任意函数的梯度；标势仅仅确定到同一任意函数的时间导数。因为势和? 缺乏唯一性，我们可以按照一定的附加条件去挑选我们所需要的一组势，这些附加条件通常是势之间的关系，称为规范条件(Gauge condition)，不同的场合可以选择不同的规范条件。 ????从物理观点来看，物理上可测量的量一定是规范不变的，因此描述涉及电磁现象的物理规律——方程形式都应当在规范变换下保持不变，这就称为规范不变性(Gauge invariance)。而变换式 称为规范变换(Gauge transformation)。 ???? a)? 库仑规范(Coulomb gauge) ?????库仑规范条件为? ，即规定是一个有旋无源场（横场）。这个规范的特点是? 的纵场部分完全由? 描述（即??具有无旋性)，横场部分由?描述（即?具有无源性）。 ?????由 ?可见, 项对应库仑场 ，对应着感应场? 。 ???? b)? 洛仑兹规范(Lorentz gauge) ? ?????? 洛仑兹规范条件为 ?????????????????????? ? 即规定是一个有旋有源场（即包含横场和纵场两部分），这个规范的特点是把势的基本方程化为特别简单的对称形式。 3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程??????? ???????从Maxwell’s? equations ?????????????????? ? ?出发推导矢势?和标势所满足的方程，得到： ???????????? 即? 再由 ????????????? ? ?得到： ???????????????? 　即? 应用 并将上述两个结论式公式整理，且得到 ? 这两个方程是互相关联的， 、? 混杂在同一个方程中， 而且两个方程的形式也不对称。??????? ????? a)? 采用库仑规范? , 上述方程化为 ?????