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用MATLAB解决数值的微分
《MATLAB语言》课程论文
用MATLAB解决数值的微分
姓 名：韩玉霞
学 号：12010245264
专 业：通信工程
班 级 ：2010级通信(1)班
指导老师：汤全武
学 院:物理电气信息学院
完成日期：2011年12月26日
用MATLAB解决数值的微分
（姓名：韩玉霞 班级：2010级通信工程）
[摘要]数值微分是在科学研究和工程技术中经常遇到的重要问题.因为它具有广泛的应用背景和由其不适定性(对输入数据的扰动极为敏感)而带来的气节困难,人们倾注了大量精力去探讨和提出数值稳定的求法.一般来说，函数的导数依然是一个函数。设函数f(x)=g(x),高等数学关心的是g(x)的性质和形式，而数值分析关心的问题是怎样计算g(x)在一串离散点X=(x1,x2,x3...xn)的近似值G=（g1,g2,g3...gn)以及计算的近似值有多大误差。有两种方式计算任意函数f(x)在给定点x的数值导数。第一种方式是用多项式或者样条函数g(x)对f(x)进行逼近（插值或者拟合），然后用逼近函数g(x)在点x处的导数作为f(x)在点x处的导数。第二种方式是用f(x)在点x处的某种差商作为其导数。
[关键字]差分 差商 数值微分 导数
问题的提出
与积分相反,数值微分非常困难.积分描述了一个函数的整体或宏观性质,而微分则描述了一个函数在一点处的斜率,这是函数的微观性质.因此积分对函数的形状在小范围内的改变不敏感.而微分却很敏感.一个函数小的变化,容易产生相邻点的斜率的大的改变.
由于微分这个固有的困难,所以尽可能避免数值微分,特别是对实验获得的数据进行微分.在这种情况下,最好用最小二乘曲线拟合这种数据,然后对所得到的多项式进行微分.或用另一种方法,对该数据进行三次样条拟合,然后寻找样条微分.
在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，那么我们将以何种途径来解决呢？
数值的差分与差商
任意函数f(x)在x点的导数是通过极限定义的，在h都趋近于0的情况下：
(1)
(2)
(3) 上述式子中,均假设h0,如果去掉上述等式右端趋近于0的极限过程，并引进记号：
(4)
(5)
(6)
以上三式分别为函数在x点处以h(h0)为步长的向前差分、向后差分和中心差分。当步长h充分小时，有：
(7)
(8)
(9)
和差分一样，称以上三式与h的比值分别为函数在x点处以h(h0)为步长向前差商、向后差商和中心差商。当步长h(h0)充分小时，函数f在点x的微分接近于函数在该点的任意差分，而f在点x的导数接近于函数在该点的任一种差商。
问题一：
生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]为基础的范得蒙矩阵，按列进行差分运算。 命令如下： V=vander(1:6) DV=diff(V) %计算V的一阶差分
问题二：
设x由[0,2∏]间均匀分布的10个点组成，求sinx的1到3阶差分。
命令如下：
X=linspace(0,2*pi,10);
Y=sin(x);
Dy=diff(y); %计算y的一阶差分
D2z=diff(y,2); %计算y的二阶差分，也可用命令d
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