方阵的相似对角化与正交矩阵.pptVIP

《线性代数》 下页 结束 返回 《线性代数》 下页 结束 返回 第2节 相似矩阵与矩阵的对角化 一、相似矩阵及其性质 二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件 下页 2.1 相似矩阵及其性质 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B. 例如， 5 -1 3 1 A= 0 -2 4 0 B= ， ， 1 -5 1 1 P= ， 因为 1 -5 1 1 -1 1 -5 -1 1 6 =- — P-1AP 5 -1 3 1 1 -5 1 1 2 -2 -20 -4 1 6 = - — 0 12 -24 0 = -— 1 6 0 -2 4 0 = ， 所以A~B . 相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足 自反性： A~ A 对称性：若A~B，则B~A 传递性：若A~B，B~C，则 A~C 下页 定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值. 证明：因为P-1AP=B， A与B有相同的特征多项式， |lE-B| =|P-1(lE)P -P-1AP | =|lE-P-1AP| =|P-1(lE-A)P| =|P-1|?|lE-A|?|P| =|lE-A|， 所以它们有相同的特征值. 下页 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B. 相似矩阵还具有下述性质：A~B = P-1AP=B (1)相似矩阵有相同的秩； r(A)=r(B) (2)相似矩阵有相同的特征值； |λE – A|= | λE – B| (3)相似矩阵的行列式相等；|A|= |B| (4)相似矩阵的迹相等； tr(A)=tr(B) (5)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们 的逆矩阵也相似. 下页 定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值. (P-1AP) -1=B-1 即：P-1A -1P=B-1 解：由于A和B相似，所以tr(A)=tr(B), |A|=|B| , 即 解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|, 即 |A|=|D|＝12. 下页 例1. 若矩阵 相似，求x，y. 解得 例2. 设3阶方阵A相似于 ,求|A|. 定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , ??? , ln) 相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量. 必要性. 设存在可逆矩阵P=(x1, x2, ??? , xn)使 P-1AP=L，即：AP=PL 则有 可得 Axi =lixi (i=1, 2, ???, n) . 因为P可逆，所以x1, x2, ? ? ? , xn 都是非零向量，因而都是A 的特征向量，并且这n个特征向量线性无关. l1 0 ??? 0 0 l2 ??? 0 0 0 ??? ln ??? ??? ??? ??? A(x1, x2, ??? , xn)= (x1, x2, ??? , xn) ， 证明： = (l1 x1, l2 x2, ??? , lnxn) 2.2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件 下页 (Ax1, Ax2, ??? , Axn) 充分性. 设x1，x2，???，xn为A的n个线性无关的特征向量， 它们所对应的特征值依次为l1，l2，???，ln，则有 Axi =lixi (i=1, 2, ???, n) . 令 P=(x1, x2, ??? , xn)，则 =(l1x1, l2x2, ??? , ln xn) =A(x1, x2, ??? , xn) =(Ax1, Ax2, ??? , Axn) AP = (x1, x2, ??? , xn) l1 0 ???