复变函数课件第3章3-5复变函数的积分.pptVIP

第三章 复变函数的积分 1. 复变函数积分的概念 2. 柯西—古萨基本定理 3. 基本定理的推广——复合闭路定理 4. 原函数与不定积分 5. 柯西积分公式 6. 解析函数的高阶导数 7. 解析函数与调和函数的关系 8. 第三章小结与习题 第五节 柯西积分公式 问题的提出 1 柯西积分公式 2 小结与思考 4 典型例题 3 一、问题的提出 根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值. 二、柯西积分公式 定理 证 上不等式表明，只要Ｒ足够小，左端积分的模就可以任意小, 根据闭路变形原理知，左端积分的值与Ｒ无关, 所以只有在对所有的Ｒ积分值为零时才有可能. [证毕] 柯西积分公式 柯西介绍 关于柯西积分公式的说明: (1) 把函数在Ｃ内部任一点的值用它在边界上的值表示. (这是解析函数的又一特征) (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式. (这是研究解析函数的有力工具) (3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值. 三、典型例题 例1 解 由柯西积分公式 例2 解 由柯西积分公式 例3 解 由柯西积分公式 例４ 解 根据柯西积分公式知, 例5 解 例5 解 由闭路复合定理, 得 例5 解 例6 解 根据柯西积分公式知, 比较两式得