地震学讲稿 各向异性介质中的平面波.docVIP

第11章 各向异性介质中的平面波 介质中一点的物理性质如果与方向有关, 该介质被称为各向异性介质. 微观晶体的物性一般是各向异性的. 如果晶体的排列杂乱无章, 宏观上就会表现出各向同性. 地球介质的各向异性主要表现在地壳与上地幔, 以及地球的内核. 孔隙及微破裂的定向排列, 结晶体的优势方向排列都会表现出地震波速宏观各向异性. 各向异性介质中的地震波传播理论比各向同性的要复杂的多, 描述介质弹性性质的参数也多. 但是，地球介质的宏观各向异性给地震波传播造成的影响比较微弱, 大多数观测结果缺乏有力的各向异性证据. 随着地震观测仪器精度与动态范围、观测手段的提高，各向异性的研究越来越受到重视。内核相对于地幔差速转动的发现就依赖于内核的各向异性模型。 首先我们看一个简单的例子，以此认识各向异性介质中波的复杂性。假设介质是均匀各向异性的。设地震波由一点发出，由于波向不同方向传播的相速度是不相同的，在特定的时间后形成的波前面（等相位面）不再是一个圆球，而是一个曲面。如图(11.1)所示，射线的方向是能量传播的方向，能量传播的速度叫群速度。波前面法向是相位传播的方向，也是波幔度方向，整个波前面是平面波等相位面的包络。从图中可以看出，射线与波前面并不垂直，能量传播的方向、相位传播的方向以及波的偏振方向不在同一个方向，即使是P波也可能如此。 11.1 相速度、群速度、偏振 我们用简谐平面波来演示上述特征。设平面波的位移形式为 ， 或写成分量形式 （11.1） 其中波幔度矢量，c为相速度，为幔度单位矢量，是给定的已知量。相速度c是与幔度单位矢量有关的待定量. 为位移偏振矢量，是与幔度单位矢量有关的待定矢量. 弹性动力学方程为 . （11.2） 广义胡克定律 （11.3） 将（11.3）带入（11.2）得 。 （11.4） 将（11.1）带入（11.4）得 或写成 。 （11.5） 由幔度矢量的定义，可把（11.5）写成 。 （11.6） 令，（11.6）可写成 . （11.7） 由(11.7)可知, 只要给定幔度矢量的方向, 相速度c以及偏振矢量就是满足方程(11.7)的解. 方程(11.7)是求矩阵的本征值及本征矢量问题. 由于是实对称矩阵, 它一定存在三个相互正交的本征矢量, 而且相应的本征值为正的实数. 满足(11.7) 的非零解条件是 , (11.8) 上式(11.8)即为本征值所满足的方程. 为了表达(11.8)的涵义, 假设介质是各向同性的. 即 . (11.9) 由此得 , 代入(11.8)得到 . (11.10.) 由于本征值与本征矢量与坐标的选取没有关系(也就是坐标变换不会改变本征值与本征向量的解), 坐标的旋转也不会改变介质参数的表达形式, 因为介质是各向同性的. 我们选取与给定的幔度单位矢量重合, 即, 则 , 代入(11.10)得 . (11.11) 即 由此推得相速度c的一个解为 , P波的速度. 另外两个解相同 , S波的速度. 对于P波, 设为归一化的单位矢量, 即, 由(11.7)得到. 即 , 偏振方向与相位传播方向相同. 这与已知的结果一致. 同样可以证明, 两个S波的偏振方向相互垂直, 而且它们也与P的偏振方向垂直. 对于一般的各向异性介质, 给定一个单位幔度矢量，本征值方程(11.8)有三个实根。它们分别代表准P波()和两个准S波()的相位传播速度. 由(11.7)能解出与本征值对应的三个相互垂直的本征矢量, 它们分别代表三种波的偏振方向. 能量传播的速度及传播方向由群速度矢量来描述. 由能量密度及能流密度矢量的定义可以得到 . (11.12) 其中E为地震波能量密度, 为能流密度矢量, 记为. 一个周期内的平均得 . (11.13) 在讨论能量时, 平面波应由(11.1)的实部来描述（请思考：为什么？）, 即 . (11.14) 能量密度, 为地震波的动能密度, 为势能密度. 容易证明, 一个周期内的平均动能密度与势能密度相等, 即. 由此得 . 由(11.14)可计算出平均动能密度 . (11.15) . (11.16) 由(11.14)可计算出能流密度矢量 . (11.17) 一个周期内能流密度的平均值为 . (11.18) 将(11.16)与(11.18)代入(11.13), 得 , . (11.19) 由(11.19)可知， 在各向异性介质中, 群速度方向(