二元函数极值存在的判别方法.docVIP

大庆师范学院 二元函数极值存在的判别方法 院 （系） 数学科学学院 专 业 数学与应用数学 研 究 方 向 数学教育 学 生 姓 名 韩 明200801052602 指导教师姓名 夏 晶 指导教师职称 副教授 2012年6月1日 摘 要 Abstract In industrial and agricultural production,management of the economy and the economic accounting,we often solve the problems such as how to make input smallest,output most efficient in given conditions.In the life we often encounter how to achieve maximum profit,use the minimum materials and get maximum efficiency,to deal with the similar problems that have its realistic significance.Above problems can be transformed with function and its function of maximum and minimum value.The concept of extreme value originate from function of maximum and minimum value of mathematics,therefore approaching the extreme value have significance meanning. Keywords:function;extreme value;stagnation;conditional extremum 目 录 第一章 前言 1 1.1简述极值问题 1 1.2二元函数的概念 1 1.3二元函数的极值 2 1.3.1极值存在的必要条件 2 1.3.2极值存在的充分条件 2 第二章 二元函数求极值的方法 4 2.1无条件极值问题 4 2.2条件极值问题 5 第三章 二元函数极值的意义 8 参考文献 9 第一章 前 言 1.1 简述极值问题 函数极值问题是一个非常普通的数学问题，但在实际生活中却是非常重要的应用.本文主要参照一元函数的研究方法研究了二元函数的极值，得出了二元函数极值存在的判定方法. 极值的概念来自数学应用中的最值问题.定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题的关键在于要确定它在哪点处达到最大值或最小值.如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点. 1.2 二元函数的概念 二元函数是含有两个自变量的函数，它是函数的一种类型，可视为一元函数概念的一种推广. 定义1 在某个变化过程中，存在三个变量，，，若对，的每一对数值总有唯一的数值与其对应，则就叫做与的函数，与的取值范围叫定义域（亦称可微域）. 例如：路程就是其速度与时间的二元函数.三角形面积就是其底与高的二元函数. 二元函数的定义很好理解，二元函数极值的判别与求法是二元函数的重点以及难点.例如，在全平面内可微，则在处有极大值，在处有极大值.此二元函数虽然在点处从轴方向和轴方向来看都有极大值，但在处不是极大值. 我们可知一元函数极值的确定只需考虑在左右侧的导数情况即可以得出相关结论.但在二元函数中情况就较为复杂. 1.3 二元函数的极值 定义2设函数在点的某邻域内有定义，且在该邻域内恒有，，则称为函数的极大值（小）值。这里极大值与极小值我们统称为极值，函数取得极值的点称为极值点. 由以上定义可以得知，函数的极大值与极小值问题是一个“局部性”的问题，或者说，函数在极值点处取到极大值，此时的“极大”只在这一点周围很小的范围内，也只有在这个范围内，取得的函数值才是最大的. 例如：，对任意有，所以函数在处取得极小值. 又如：对任意不等于有，所以函数在处取得极大值. 那么在一般条件下怎样判断二元函数极值是否存在呢？参考一元函数的极值的讨论方式，对二元函数极值有如下讨论结果. 1.3.1 极值存在的必要条件 定理1(极值存在的必要条件)若函数在处有极值，且函数在该点的一阶偏导数都存在，则有. 证：因为点是函数的极值点，若固定中的变量，则是一元函数且在处取得极值，由一元函数极值的必要条件知道，同理有. 我们把凡是满足方程组的点都称为