CMC数学竞赛专题1 极限与连续.docVIP

专题1 极限与连续 一、函数的基本内容 1.函数的定义域 解题策略1 初等函数求定义域的法则 ； ； ； ； ； ； ； 。 解题策略2 分段函数的定义域求法 在分段函数中，每一小段的范围合并在一起，再求出使得每个表达式都存在的的范围。 例1 求函数的定义域。 （答案为） 例2 设，且，求的定义域。（答案为） 2.判断两个函数是否相同 解题策略 确定函数有两要素：定义域和对应法则；若给定两个函数，当且仅当定义域和对应法则完全相同，才表示同一函数，否则是不同函数。一般解题步骤为：先看定义域是否相同，若不同则为不同函数；若相同，则看对应法则是否相同，一般对应法则是要将函数化简，看表达式是否一样。 例1 判别下列函数是否相同 ①，； ②，； ③，； ④； 答案 ①不同； ②不同； ③相同； ④相同。 例2 与连续函数等价的函数为 。答案：（D）。 （A） （B）方程满足的特解 （C）的经过点的原函数 （D） 3.求函数的表达式 例1 已知是周期为的奇函数，且当时，，则当时， 。 （答案：） 例2 设，则 。 （答案：） 例3 函数的反函数为 。 提示 这是要求分段函数的反函数的求法，做法是分别分段来求。 （答案：） 例4 求的反函数。 （答案：） 例5 求。 提示 因为，所以应分及讨论。 （答案：） 例6 设，求。 （答案：） 例7 设，，，求。 分析 先通过分析，猜测一般归纳，再采用数学归纳法证明。（答案：） 4.判别函数的奇偶性 解题策略：（1）用定义；（2）若，则为奇函数。这种方法适合用定义困难的题目。（3）若为可导的奇（偶）函数，则为偶（奇）函数，为奇（偶）函数。（4）如果为奇函数，则它所有的原函数为偶函数（例2）；如果为偶函数，则它的所有原函数中只有一个原函数（即）是奇函数，其余的原函数都为非奇非偶函数（例3）。（5）偶函数在对称区间内：正、负性相同，单调性相反，凹凸性相同，拐点关于轴对称。奇函数在对称区间内：正、负性相反，单调性相同，凹凸性相反，拐点关于原点对称。 例1 判别函数的奇偶性。 （答案：奇函数） 例2 证明如果为奇函数，则它所有的原函数为偶函数。 提示 积分上限函数是连续函数的一个原函数，这点很重要。 例3证明如果为偶函数，则它的所有原函数中只有一个原函数（即）是奇函数，其余的原函数都为非奇非偶函数。 例4 若，且在上有，则在有 （答案：选（C）） 5.函数的周期性 解题策略：（1）判断周期函数的方法：定义法或用周期函数的运算性质。（2）求函数周期的方法：①若为的周期，则的周期为；②若的周期为，的周期为，则的周期为、的最小公倍数。（3）几个常见的周期函数：①的周期为；②的周期为。（4）可导的周期函数的导函数具有相同周期的周期函数。（5）如果以为周期，则 。（例2） 例1 求（1）；（2）的周期。 （答案（1）；（2）。） 例2 如果以为周期，则。 提示 用点将分为三个子区间，利用积分的可加性； 例3设有二阶导数，且，，若，则有 提示 请记住以一个结论：（1）如果以为周期，则都以为周期。（2）奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数是奇函数。（3）如果为奇函数，则 （答案：选（B）） 6.判别函数的单调性 解题策略：（1）用定义：若在区间上没有告知是否可导，则用定义。（2）用导 数：若在区间上可导，则用的符号。（3）用性质：两个递减（增）函数的复合是递增函数；而一个递减、一个递增的函数的复合是递减函数。 例1 设在上有定义，且有，证明在上单调增加。 提示 因为是否可导不知，因此是否可导也不知，因此证明的单调性不能用导数的符号来判别，于是用单调性的定义来证。 例2 设在上连续，且，令，证明：在上单调增加。 提示 利用导数符号判别函数单调性，有一前提条件是：在区间上连续，因此本题应先证明在上连续，然后才能求导数符号。下例3也是如此。 例3 设在上有，且，证明在上单调增加。 7.函数的有界性 （1）定义 若，有或，则在上有界。