瞬时点源的对流和扩散.pdfVIP

静止流体中的云团扩散在第三章中已经讨论。这一章进一步讨论均匀流中的瞬时释放后所同 时发生的对流和扩散。第 3 章中所研究的云团结构在这里仍然保留，因为存在一个关于云团 质量中心的高斯浓度分布，现在这个分布以水流速度在运动。浓度在空间和时间记录之间的 差别也要考察。重点强调在标量物质输运中，使用 Peclet 数来确定对流与扩散的相对重要性。 如果系统主要受到对流或者扩散的控制，确定一种化学物质从释放后到给定距离所需要的时 间问题，就变得简单了。 示例问题测试研究者在 Peclet 数的基础上简化分析的能力，以及区分浓度的空间和时间记录 的能力。 5. 瞬时点源的对流和扩散 这一章中考虑一个瞬时点源释放后的对流和扩散的联合输运问题。我们忽略源汇项。对于各 向同性的均匀扩散，输运方程就是（第 1 章中的方程 24 ）， ∂C ∂C ∂C ∂C ∂ C ∂ C ∂ C 1 ∂t u ∂x v ∂y w ∂z D ∂x ∂y ∂z 为了简化，我们从沿 x 方向的一维系统开始分析，也就是所有的流动参数在 y 和 z 方向内是 均匀的，这样∂/ ∂y ＝0 并且∂/ ∂z ＝0 。输运方程简化为， ∂C ∂C ∂ C 2 u D ∂t ∂x ∂x 这个方程描述了下面模型系统中的输运过程。我们在 x ＝0 处，t ＝0 时刻，释放一个瞬时点 源到这个系统中，点源显示为灰色小平板，其在 y-z 平面内质量分布是均匀的，并且在 x 方 向内的尺寸可以忽略，这样初始浓度就是C （x ）＝Mδ （x ），其中δ （）是狄拉克δ函数（Dirac delta function ）。 为便于求解（2 ）式中的C （x ，t ），从静止坐标系（x ，t ）改变坐标系到运动坐标系（θ，t ）。 纵向坐标θ ＝x-ut ，如俯视图所示，随平均流速 u 运动，并且θ ＝0 一直保持在质量的中心。 我们使用微分的链式法则并注意到∂θ/∂t= -u ，将（2 ）式从（x ，t ）坐标系下转化到（θ，t ） 坐标系下。 ∂C θ,t ∂C ∂θ ∂C ∂t ∂C ∂C ‐u ∂t ∂θ ∂t ∂t ∂t ∂θ ∂t ∂C θ,t ∂C ∂θ ∂C ∂t ∂C 3 ∂x ∂θ∂x ∂t ∂t ∂θ 2 2 ∂ C θ,t ∂ C ∂x 2 ∂θ2 2 2 用（3 ）式替代∂C/∂t ，∂C/∂x ，以及∂ C/∂x ，（2 ）式变成， ∂C ∂ C 4 ∂t D ∂θ 使用初始条件 C(θ=0 ，t ＝0) ＝Mδ （θ ），（4 ）式的解就是（第三章中的方程 10）, M 5 C θ, t exp θ /4Dt A √4πDt 再转换回到静止坐标系，我们得到 M 6 C x, t exp x ut /4Dt A √4πDt 一 维 瞬 时 点 源 释 放 C C C 输运方程： u D 初始条件： t = 0 时刻，C= Mδ