第四章数值积分与数值微分-数值分析.pptVIP

§4 Gaussian Quadrature ? 正交多项式族{ ?0, ?1, …, ?n, … }有性质：任意次数不大于n 的多项式 P(x) 必与?n+1 正交。 若取 w(x) 为其中的?n+1，则?n+1的根就是 Gauss 点。 再解上例： ? + ? 1 0 1 1 0 0 ) ( ) ( ) ( x f A x f A dx x f x Step 1：构造正交多项式?2 设 c bx x x a x x x + + = + = = 2 2 1 0 ) ( , ) ( , 1 ) ( j j j ? ? 5 3 - = a 0 ) ( 1 0 = + ? dx a x x 0 ) , ( 1 0 = j j ? ? = + + - ? = = + + ? = 1 0 2 1 1 0 2 2 0 0 ) )( 5 3 ( 0 ) , ( 0 ) ( 0 ) , ( dx c bx x x x dx c bx x x j j j j 21 5 9 10 = - = c b 即： §4 Gaussian Quadrature Step 2：求?2 = 0 的 2 个根，即为 Gauss 点 x0 ，x1 Step 3：代入 f (x) = 1, x 以求解 A0 ，A1 解线性方程组，简单。 结果与前一方法相同： ? 利用此公式计算 的值 §4 Gaussian Quadrature ? 特殊正交多项式族： ① Legendre 多项式族： 1 ) ( ? x r 定义在[?1, 1]上， 满足： 由 有递推 以 Pn+1 的根为节点的求积公式称为Gauss-Legendre 公式。 ② Chebyshev 多项式族： 2 1 1 ) ( x x - = r 定义在[?1, 1]上， Tn+1 的根为 k = 0, …, n 以此为节点构造公式 称为 Gauss-Chebyshev 公式。 注意到积分端点 ?1 可能是积分的奇点，用普通Newton-Cotes公式在端点会出问题。而Gauss公式可能避免此问题的发生。 §4 Gaussian Quadrature ? Gauss 公式的余项： /* 设P为f 的过x0 … xn的插值多项式 */ /*只要P 的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/ 插值多项式的余项 Q：什么样的插值多项式在 x0 … xn 上有 2n+1 阶？ A：Hermite 多项式！ 满足 ? Gauss 公式的稳定性： 　　　 Gauss公式的求积系数Ak 0, k=0,1,…,n 定理 求积系数的另一种计算方法 结论：Gauss型积分公式是数值稳定的。（稳定性分析类似于n ? 7的N-C公式） §2 Composite Quadrature ? 收敛速度与误差估计： 定义 　　 若一个复化积分公式的误差满足 且C ? 0，则称该公式是 p 阶收敛的。 /*中值定理*/ 类似的，可得 2阶收敛 4阶收敛 6阶收敛 例1：计算 解： 其中 = 3.138988494 其中 = 3.141592502 运算量基本相同 Q: 给定精度 ?，如何取 n ? 例如：要求 ，如何判断 n = ？ 上例中若要求 ，则 即：取 n = 409 §2 Composite Quadrature 事后误差估计式，可用来判断迭代 是否停止。 始步长h 0.5?10-2 §3 龙贝格积分 /* Romberg Integration */ 复化梯形公式算法简单，但精度较差，收敛速度（2阶收敛）较慢，如何提高收敛速度？ 注：按上面规律，可以构造线性组合系数为 的新的积分公式，但当m?4时，前一个系数接近于1，后一个系数接近于0，这样构造出的新公式与前一个公式结果差别不大，反而增加计算量，因此实际上常做到Romberg公式为止。 例：计算 已知对于? = 10?6 须将区间对分 9 次，得到 T512 = 3由 来计算 I 效果是否好些？ 考察 = 3.141592502 = S4 一般有： Romberg 序列 ? Romberg 算法： ? ? ? ? ? ? … … … … … … ? T1 = ) 0 ( 0 T ? T8 = ) 3 ( 0 T ? T4 = ) 2 ( 0 T ? T2 = ) 1 ( 0 T ? S1 = ) 0 ( 1 T