4．自由粒子的微观状态数.ppt

In addition, because the must fulfill the conditions: 但 不完全是独立的，它们必须满足条件： 用拉格朗日(Lagrange)未定乘子 和 乘这两个式子并从 中减去，得： 根据拉氏乘子法原理，每个 的系数都等于零，所以得： 能级 的量子态 ，处在其中任何一个量子态的平均粒子数 应该是相同的。因此，处在能量为 的量子态s 此为定域系统中粒子的最可几分布，称为玻耳兹曼分布 上的平均粒子数为： 几点说明： 第一，上面我们只证明了玻耳兹曼分布使 取极值。 要证明这个极值为极大值，还要证明玻耳兹曼分布使 的一级微分等于零，即 且 二级微分小于零。 这就证明了玻耳兹曼分布是使为极大的分布。 第二，玻耳兹曼分布是出现几率最大的分布。从原则上说，在给定N,E,V的条件T，满足下列条件的分布都是可以实现的。 For Bose systems §6.7 Bose distribution and Fermi distribution 根据等几率原理，对于处在平衡状态的孤立系统，每一个可能的微观运动状态出现的几率是相等的。因此，使 为极大的分布，出现的几率最大，是最可几分布： 且可用近似式 因而 为极大的分布，必使 为零。 使 用拉氏乘子 和 乘这两个式子中减去 ，得 是玻色系统中粒子的最可几分布，称为玻色分布。拉氏乘子 假设 相同的方法，费米系统中粒子的最可几分布为： 拉氏乘子 满足 For Fermi systems 能级有个量子态 个 对粒子的所有量子状态s求和。 其中 处在其中任何一个量子态s上的平均粒子数应该是相同的因此处在能量为 量子态s上的平均粒子数为： When Boltzmann distribution Bose distribution Fermi distribution 玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布 这时任一量子态上的平均粒子数都远小于1，即非简并性条件。当非简并性条件满足时，玻色分布与费密分布都过渡到玻耳兹曼分布，这跟前面的有关结论是一致的。 即 习题课第六章、第七章 6.1 试根据 证明，在体积V内，在 能量范围内，三维自由粒子 的量子态数为: 证明: 在V内 范围内可能的微观状态数为: 6.2 试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在 能量范围内，的量子态数为: 2 semi-classical： × quantum： 6.3. Try to determine the microstate number(from ε to ε+dε) of a free particle in a 2-dimensional phase space,assume the space area is L2. 6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=cp，试求在体积V内，在 能量范围内，三维自由粒子 的量子态数。 解: 一个三维自由粒子在动量间隔 ，内的微观状态数为： * 例求一个二维自由粒子在动量间隔 面积A 内的微观状态数。 在面积A中， 内可能的微观状态数为 : 解 一个自由粒子微观状态数 范围内可能的微观状态数为: 称为态密度，对于自由电子，考虑自旋，状态数需对上面各式乘2。 在A内 §6.3 系统微观状态的描述（Description of Microscopic States of Systems） 1．全同粒子组成的系统。 Systems consisting of identical particles 2．量子情形。 Quantum Case 3．经典情形。 Classical case 1．全同粒子组成的系统 2、讨论近独立粒子组成的系统，即 强调相互作 用弱 1、全同粒子组成的系统遵从全同性原理，即粒子不可分辨。全同粒子：相同质量、自旋、电荷等 2．量子情形： 玻色子（Boso