三次方程解法被称为卡尔达诺公式.docVIP

三次方程解法被称为“卡尔达诺公式”或“卡当公式”流传开来．卡尔达诺公布的解法可简述如下： 　　?设一元三次方程为则通过以 代替变量 , 可将上述方程化为如下简约方程: x3px=q(p，q为正数)． (1) 　　　 　　　 　　x3＋6x＝20为例说明这一方法，他得到的解是x= 　　　 　　过同样的程序得到 　　　　　　x3＋px＋q＝0和x3＋q＝px(p，q为正数)的公式解，就是说他已经能解任何形式的三次方程了．毫无疑问，这里包含了塔尔塔利亚的工作．但需要说明的是，他们像当时其他数学家一样，解方程只求正根，所以解法还是不完善的． 　　　 　　 25－(-15)＝40．于是他写道：“算术就是这样神秘地搞下去的，它的目标，正如常言所说，是又精致又不中用的．”他既承认负数有平方根，又怀疑它的合法性，因此称它为“诡变量”．但不管怎样，虚数毕竟在卡尔达诺那里诞生了．他还进一步指出，方程(指实系数方程)的虚根是成对出现的． 　　(L．Ferrari，1522—1565)受到启发，很快解出了四次方程，解法也发表在卡尔达诺《大术》中．下面用现代符号表出． 　　x4＋bx3+cx2+dx+e＝0． (4) 　　x4＋bx3=-cx2-dx-e， 　　　 　　x的二次三项式，若判别式为0，则可配成x的完全平方． 　　 　　y0，代入(5)，由于两边都是x的完全平方形式，取平方根，即得 　　 　　x的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的． 　　1591年发表的《分析术引论》(Inartemanalyticemisagoge)中，他是这样解三次方程的： 　　x3+bx2+cx+d=0， 　　结果得到简约三次方程 　　　　　y3py＋q＝0． 　　 　　他和卡尔达诺一样，只考虑方程的正根． 　　(Deaequationumrecog－nitoneetemendatjone，写于1591年，出版于1615年)中，他提出了四个定理，后人为了纪念这位大数学家，称之为韦达定理．二次方程的韦达定理是我们经常使用的，就 　　f(x)=0的正根个数等于方程系数的变号次数，或比此数少一正偶数；负根个数等于f(-x)的系数的变号次数，或少于此数一个正偶数．在这里，m重根是看作m个根的．实际上，正根个数和负根个数都可表成n-2p的形式，其中n是f(x)或f(-x)的系数变号次数，p为0，1，2…，p的取值要使n－2p非负．笛卡儿还研究了方程的根的个数同方程次数的关系，认为n次方程至多有n个根．在讨论三次方程时，他得到如下结论：若一有理系数三次方程有一个有理根，则此方程可表为有理系数因子的乘积．他的另一项重要成果是现今所谓因子定理：f(x)能为(x-a)整除(a＞0)，当且仅当a是f(x)＝0的一个根，所有这些成就都是在笛卡儿《方法论》(DiscoursdelaMéthod，1637)的附录《几何》(LaGéometrie)中出现的． 　　(即(a＋b)n在n为正整数时的展开式)曾被不同民族多次独立发现．11世纪的中国人贾宪和15世纪的阿拉伯数学家卡西(al－Kāshī)各自得到如下形式的三角形 　　1，中间每个数为肩上两数之和． 　　(P．Apianus，1495—1552)最早给出这个三角形(1527年)，1544年左右，施蒂费尔引入“二项式系数”这个名称，并指出怎样从(1＋a)n-1来计算(1＋a)n．1653年，帕斯卡写成《算术三角形》(Traitédutrianglearithmétique)一书，从上述三角形出发，详细讨论了二项展开式的系数．该书于1665年出版后，影响很大．由于帕斯卡在数学界的威望，人们习惯地称此三角形为帕斯卡三角形．实际上，他的功绩主要是通过组合公式给出了二项式系数，即(a+b)n 　　(T．Newton，1643—1727)进一步认识到，这个公式不仅适用于指数为正整数的二项展开式，而且当指数为分数或负数时，同样适用．他把二项式定理推广到分指数和负指数的情形，指出这三种形式的二项展开式第1项都是1，后面各项系数及字母指数也具有相同的变化规律：设n，m为正整数，则 　　 　　a-b，则第k＋1项的符号由(－1)k决定．它们的区别只 　　　 ?对于一般的一元三次方程, 早在1545年出版的一本数学著作 Ars Magma 中已有介绍, 现在称三次方程的求根公式为卡丹公式. 我们这里来简单介绍一下. ????设一元三次方程为 则通过以 代替变量 , 可将上述方程化为如下简约方程: ????设 是该简约方程的三个根. 令 称为简约方程的判别式. 令 , , , 则卡丹公式为 ???? 这里两公式中 的取值要相同, 且立方根的选取要满足条件 然后通过解线性方程组 ??? ??