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* 由 和 的关系式，可得 代入可得横向滤波器算子 的时间更新关系 类似推导，可以得到横向滤波器算子 的时间更新关系 * C4.3.6 快速横向滤波器时间更新 最小二乘滤波器更新 ， 由于 可得 由横向滤波器算子的时间更新公式，可得 将最小二乘预测滤波器及其预测误差的向量表达式代入上式可得 即最小二乘滤波器 的时间更新公式。 令 * 前向预测误差滤波器更新 ， ，可得 可得 又由 可得 则 由横向滤波器算子的时间更新公式，可得 令 由于 * 将前向预测误差滤波器及其预测误差的向量表达式代入上式可得 即前向预测误差滤波器 后向预测误差滤波器更新 ， 对于向量 ，由横向滤波器算子的时间更新公式，可得 将后向预测误差滤波器及其预测误差的向量表达式代入，可得 即后向预测误差滤波器 的时间更新公式。 令 的时间更新公式。 * 增益滤波器更新 ， ，则 用 预测 的 阶最小二乘预测器 是 阶增益滤波器 令 其中， 是由 的前 个分量组成的向量 是第 个标量分量 ，可得 由 令 * 若令 ， ，则 可得 其中， 为后向预测误差滤波器参数 从 先计算出 和 ，然后计算出 前、后向预测残差更新 ， ， 由于 即增益滤波器的时间更新。 令 * 可得 由前向预测残差的向量内积表达式，有 而 由前向预测误差的向量表达式 及 * 代入标量更新公式，可得 又 其中 由前向预测误差滤波器的更新公式，代入可得 其中 求解 ，并代入增益滤波器与角参量的关系式，可得 则前向预测残差的更新公式有如下形式 * 后向预测误差 代入后向预测误差更新公式，可得 其中， 求解 ，并代入增益滤波器与角参量的关系式，可得 令 ， ， 代入标量更新公式，类似推导可得 从而得到后向预测残差的更新公式 * 角参量的时间更新 ，则 由角参量与增益滤波器的关系式，有 推导可得 由前向预测残差的更新公式 可得 又 由增益滤波器更新的矩阵分块形式，可得 令 * 即 将 代入上式，得 由后向预测残差更新公式，可得 即可得到角参量的更新公式 其中 * 快速横向滤波器基本算法 ， For n=1 to n ： 初始化: * 收敛性能对 的取值不敏感，对输入数据的相关性不敏感。 * FTF算法小结 * * LMS算法要求输入信号和期望响应是平稳或接近平稳的。 对于非平稳信号，最小二乘自适应滤波器较适合。 最小二乘算法是以误差的二乘方的时间平均值最小化取代统计平均的最小均方误差为最优滤波器准则，即 其中 在向量空间中，最小二乘算法是使误差向量范数最小，即 C.4 最小二乘算法（LS算法） * RLS算法是一种时间递推FIR滤波器 特点：收敛快，计算量大 ， 输入样本加权值随时间呈指数衰减 最小值，使 即 或 得到 C.4.1 自适应递推最小二乘算法（RLS） 由于输入信号非平稳，引入时间指数加权因子 — 遗忘因子 求 * 令 则 — 维纳滤波 — Kalman滤波 — 增益 或 其中 迭代关系 其中 * C.4.2 自适应LS格型算法（LSL） 根据最小二乘准则 求解可得最佳加权向量 则 的最小二乘估计 其中， 为投影矩阵，即 误差向量 C.4.2.1 正交投影矩阵和最小二乘更新 * 误差向量 其中， 为 的正交投影矩阵， 的列向量的生成空间记为 定义子空间 的投影矩阵 投影矩阵的性质： （2） 定义子空间 的正交投影矩阵 一般地，数据矩阵 （1） 正交投影矩阵具有以下性质： （2） （3） （1） * 最小二乘更新 ，有投影矩阵 ，正交投影矩阵为 若新的向量 加入到 的基向量组中，则子空间从 变化为 ，其投影矩阵将为 ，正交投影矩阵为 如果 可以用来产生另一个与 正交的向量 ，即 则投影矩阵 可以分解为 而 对于子空间 得到投影矩阵的更新公式： * 则正交投影矩阵的更新公式如下： 对于在子空间 中的任意一般向量 可得最小二乘递推中向量的更新公式： 由于任一标量都可以用一广义内积来表示，可得最小二乘递推中标量的更新公式： 合理选择 横向滤波器等所需要的全部时间更新和阶数更新的公式。 ，就可以直接导出LS格型滤波器和快速 * C.4.2.2 前、后向预测误差滤波器 LS格型滤波器的前、后反射系数不相等，如图 前向预测误差 后向预测误差 前向预测误差滤波器 FPE 其中 为时移算子 定义时移向量 * 由子空间 的 个基向量计算现时刻数据向量 的预测 ，而 的基向量全部是时延向量，即 前向预测误差向量可表示为 设 阶前向预测误差滤波器的预测向量为 根据最小二乘准则 求解