第四章递归最小二乘自适应滤波器.pptVIP

河南工业大学信息科学与工程学院 第四章 递归最小二乘自适应滤波器 （ＲＬＳ） 4.1 预备知识 4.2 矩阵求逆引理 4.3 指数加权递归最小二乘算法 4.4 正则化参数的选择 4.5 误差平方加权和的更新递归 在本章中，我们将推广最小二乘的应用，以便推出一种设计自适应横向滤波器的递归算法。即给定n-1次迭代滤波器抽头权向量最小二乘估计，依据新到达的数据计算n次迭代权向量的必威体育精装版估计。我们把这一算法称为递归最小二乘（RLS，recursive least-squares）算法（滤波器）。 在RLS 滤波器的推进过程中，我们首先回顾最小二乘法的一些基本关系式．然后，应用矩阵代数中矩阵求逆引理所揭示的关系，导出RLS滤波　器．RLS滤波器的一个重要特点是，它的收敛速率比一般的LMS滤波器快一个数量级．这是因为RLS滤波器通过利用数据相关矩阵之逆，对输入数据（假定这些数据的均植为零）进行了白化处理．然而，性能的改善以RLS滤波器计算复杂性的增加为代价． 4.1 预备知识 在最小二乘的递归实现中，我们从给定的初始条件出发，通过应用新的数据样本值中所包含的信息对旧的估计值进行更新。因此我们发现，可测数据的长度是可变的。因而，把待最小化的代价函数表示为ξ(n)，其中n是可测数据的可变长度。另外，习惯上还在ξ(n)的定义中引入加权因子。于是，可以写出 (4-1) 　其中e(i)是期望d(i)与i时刻抽头输入为 的横向滤波器输出y(i)之差，如图4.1所示。 其中u(i)是i 时刻的抽头输入向量，定义为 式中W（n）是n时刻抽头权向量，定义为 注意，在代价函数　　定义的观测区间１≤i ≤n内，横向滤波器的抽头权值保持不变． 式（4-1）中的加权因子 满足如下关系 0 ≤1 i=1,2,…n 一般说来，加权因子 的使用是为了保证“遗忘”掉久远的过去数据，以便当滤波器工作在非平稳时，能跟踪观测数据的统计变化。通常所用的加权因子是指数加权因子，或所谓遗忘因子,定义为 式中λ是一个接近1，但又小于1的正常数。当λ=1时,对应一般的最小二乘法。粗略地说，1-λ的倒数可以用来衡量算法的记忆能力；而λ=1的特殊情况，则应对于无限记忆． 4.1.1 正则化 最小二乘估计和最小二乘法一样，是一个病态的求逆 问题。在该问题中，给定构成抽头输入向量u(n)的输入数 据和相应的期望响应d(n)（其中n是变量），要求估计出多 重回归模型中的未知向量，该向量与d(n) 和u(n)有关． 最小二乘估计的病态特性源于以下原因： ●输入数据中的信息不足以唯一地构建输入输出间的映射关系。 ●在输入数据中不可以避免地存在着噪声或不精确性，这为构建输入输出映射关系增加了不确定性。 为使估计问题变为非病态，需要某种与输入输出映射关 系有关的先验信息。这意味着必须扩展代价函数公式，使 其能考虑先验信息。 为满足这一需要，我们把待最小化的代价函数扩展为两 部分之和 （这里，假设使用了预加窗。）代价函数的两个分量如下： 1）误差加权平方和 4.1.2 正则方程的变形 将式（4-7）展开并进行整理，我们发现，在代价函数δ(n)中增加正则化项 ，相当于将抽头输入向量u(i)的M×M时间平均相关矩阵表示为 4.1.3 Φ(n)和z(n)的递归算法 4.2 矩阵求逆引理 设A和B是两个M×M正定阵，它们之间的关系为 其中，D是N×M正定阵，C是M×N矩阵。根据矩阵求 逆引理，可将A的逆矩阵表示为 4.3 指数加权递归最小二乘算法 假定相关矩阵Φ(n)是非奇异的，因而它可逆。我们对式(4.12)所表示的递归方程应用矩阵求逆引理，首先做如下设定 4.3.1 抽头权向量的时间更新 下面，我们要导出更新抽头权向量最小二乘估计 的递归公式。为此，用式(4-8)、式（4-13)和式(4-17)来表示抽头权向量n次迭代时的最小二乘估计 4.3.2 RLS算法小结 式(4-18)、式(4-26)、式(4-25)和式(4-19)组成了RLS算法，并在表(4-1)中总结。特别要注意的是，式(4-26)表述了该算法的滤波