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第12章：参数模型功率谱估计 12.1 平稳随机信号的参数模型： 该参数模型的思路是： （1）假定所研究的过程 由一个输入序列 激励一个线性系统的 输出，如图： （2）由已知的 ，或者其自相关函数 来 估计 的参数。 12.1 平稳随机信号的参数模型： （3）由 的参数来估计 的功率谱。 不论 是确定性信号还是随机信号，对上图所示的线性系统， 和 之间总有如下的输入输出关系： 12.1 平稳随机信号的参数模型： 对上式两边分别取z变换，并假定 ，可 得： 12.1 平稳随机信号的参数模型： 为了保证 是一个稳定的且是最小相位系 统， ， 的零点都应在单位圆内。 假定 是一个方差为 的白噪声序列， 由随机信号通过线性系统的理论可知，输出 序列 的功率谱： 12.1 平稳随机信号的参数模型： AR模型： 在 中，如果： （1） 全为零，那么 ， ， 分别变成： 12.1 平稳随机信号的参数模型： MA模型： （2） 全为零，那么 ， ， 全变成： 12.1 平稳随机信号的参数模型： ARMA模型： （3）若 ， 不全为零，则 给出的模型为自回归—移动平均模型，简称ARMA模型，显然此模型是一个既有极点，又有零点的模型。 总结： 由于ARMA模型是一个极—零模型，它易于反映功率谱中的峰值和谷值。AR模型易反映谱的中峰值，而MA模型易反映谱中的谷值。 12.2 AR模型的正则方程与参数计算 假定 、 都是实平稳的随机信号， 为白噪声，方差为 ，现在我们建立AR模型的参数 和 的自相关函数的关系，也就是AR模型的正则方程（Yule-Walker方程）。 12.2 AR模型的正则方程与参数计算 上式可简单的表示为： 12.2 AR模型的正则方程与参数计算 12.2 AR模型的正则方程与参数计算 12.2 AR模型的正则方程与参数计算 将这两个方程和AR模型的正则方程相比较，可以看出他们及其相似，因为 是同一个随机信号，若线性预测器的阶次和AR模型的阶次一样，那么有： 上两式说明，一个p阶AR模型的 个参数 同样可以用来构成一个P阶的最佳线性预测器。所以AR模型和线性预测器是等价的，由此可以看出，AR模型是在最小平方意义上对数据的拟合。 12.2 AR模型的正则方程与参数计算 Levinson-Durbin递推算法： Levinson-Durbin递推算法从低阶开始递推，直到阶次p，给出了在每一个阶次时的所有参数，即 这一特点有利于选择AR模型的合适阶次。 12.2 AR模型的正则方程与参数计算 上述算法的递推导是建立在 的前 个自相关函数已知的基础上，但在实际的工作中，往往不能精确的知道 的自相关函数，而知道的仅仅是N点数据，即 ，为此，可以这样： 1）首先由 估计 的自相关函数，得 2）用 代替上述递推算法中的 ，重新求解Yule-Walker方程，这时求出的AR模型参数是真实参数的估计值，即 12.2 AR模型的正则方程与参数计算 由这些参数，得到 的功率谱