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第7章 非线型系统分析 第7章 非线性系统的分析 Nonlinear Science 研究什么? 客观世界是非线性的、非平衡的复杂世界 Prigogine:“自然用一千种声音说话,我们刚开始去听”。 自古希腊:人们笃信和向往世界的 稳定性、规则性、和谐性、有序性、因果性、 本质简单性、周期性、对称性、…… 现在:人们越来越认识到:我们所处的大千世界是以 不稳定动力系统为特征的,充满了:非平衡、非线性、非稳定、非均匀、非结构、非确定、非可积、非可逆、非晶态、非规则、非连续、非光滑、非周期、非对称、非标准分析、非von Neumann计算机、 …… 人类理智夸入“想入非非”时代 非线性科学的四个发展阶段 40年代:组织理论:控制论,信息论,一般系统论 60年代:自组织理论(系统如何从无序→有序): Catastrophic Theory (Thom, Arnold),超循环论(Eigen), Dissipative Structure(Prigogine),Synergetics (Haken) 70年代:非线性科学 (系统如何从有序→ 混沌和无序 →更高层次的有序) Chaotic Dynamics(Feigenbaum, Ford, Kadanoff), Integrable System-Soliton Theory(Scott,扎哈罗夫), Fractals (Mandelbrot) 90年代:复杂性科学(复杂性的定义及量度,复杂系统的行为及模型)Neural Network (Hoppfield), Cellular Automaton (Wolfram),人工生命 知 识 要 点 3、继电特性 4、间隙特性 7.2.1 相平面的基本概念 由上可见,二阶线性系统的相轨迹和奇点的性质由系统的特征根决定,与初始状态无关。初始状态不同,相轨迹性质不变,形状相似,且对应于不同初始状态的相轨迹不会相交,只可能部分重合,而在奇点处则相交。另外,由于相轨迹的性质与系统初始状态无关,相平面中局部范围内相轨迹的性质就有决定性意义,从局部范围内相轨迹的性质可推知全局。 如果选取新坐标为(ω0x1,x2),则以上方程是在新坐标系中的一个圆,其圆心在 ,半径R为从圆心到所取点 的距离。在所取点附近以此画弧就近似地表示了所选取点附近的相轨迹。因此,相轨迹可用许多段小圆弧连接而成。 例7-3-4(P283)自学. 7.4.2 斜坡函数 7.4.3 具有继电特性的非线性系统 7.5.1 描述函数定义 7.5.2 典型非线性特性的描述函数 Homework P326: 7- Thanks for Attention! 极限环对应的响应曲线是等幅振荡,但是,在干扰环境中,这种等幅振荡能否持续下去,要看极限环的性质。图7-11表示了两个极限环,较大的一个称为不稳定极限环——极微小的干扰就可能导致振荡发散或衰减到零,较小的一个称为稳定极限环——即使干扰使振荡短时离开极限环,干扰消失后又会回到极限环。 极限环是非线性系统特有的现象,也是一种随处可见的现象,可以说,凡是能持续振荡的动态系统,都是运行在稳定极限环上,钟摆的摆动、电子振荡器等都是例证。县然,在干扰环境中,线性系统不可能产生持续等幅振荡,因为极微小的干扰就可能导致振荡发散或衰减到零。 图7-11 极限环的稳定性 返回 §7.5 描述函数法 描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提出的, 它是线性系统频率法在非线性系统中的推广,是非线性系统稳定性的近似判别法,它要求系统具有良好的低通特性并且非线性较弱,描述函数法的优点是能用于高阶系统。 在频率特性一章中,我们已经看到,对于线性时不变系统,当输入为正弦函数时输出也是同频率的正弦函数,输出和输入只有幅值和相位的差别。对于非线性系统,当输入为正弦函数时输出是同频率的非正弦函数,也就是说输出中含有高次谐波,可见线性系统的频率法不适用于非线性系统。 现在,我们试图将线性系统中的频率法改进后用于非线性系统。考虑图7-8 所示的系统,如果其线性动态部分具有良好的低通特性,那么系统信号中的高次谐波就被大大衰减,可以用基波来近似,这是非线性特性在频域的线性化。 为了将频率法推广到非线性系统,我们首先定义静态非线性环节的描述函数, 设非线性环节y=f (x) 的输入为正弦函数: 式中,X是正弦函数的幅值。将非线性环节的输出 分解为富氏级数: 式中 如果非线性特性是奇对称的,那么直流分量A0=0,这时输出的基波分量是: 如果函数y=f(x) 是已知的,X是一个待定常数,
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