第5章特征值问题和二次型12.pptVIP

第5章 特征值问题 二次型 矩阵特征值理论在许多实际问题的解决中起着重要作用.本章本章着重介绍了矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，给出了矩阵与对角矩阵相似的条件,并对实二次型的有关内容进行了讨论. 第5章 特征值问题 二次型 特征值与特征向量 相似矩阵 二次型及其标准形 正定二次型 第5.1节 特征值与特征向量 教学目的：掌握特征值与特征向量概念及其性质 教学重点：特征值与特征向量的求法 教学难点：特征值与特征向量性质 教学方法：讲练结合 教学步骤：如下： 1.特征值与特征向量概念 (1)特征值与特征向量定义 设A为n阶方阵，若存在数 λ 及非零向量x使 Ax = λx 则称数 λ为A的特征值，x为A的对应于λ 的特征 向量. 例如 (2)相关概念 将特征值与特征向量定义式 Ax = λx 改写为 λx –Ax =0 即 ( λE– A )x = 0 称 (3)特征值与特征向量求法 依据 ( λE– A )x = 0 知： 特征向量 x 为该齐次线性方程组的非零解； 而齐次线性方程组有非零解的充要条件是 系数矩阵的行列式?λE–A ?=0,即A的特征值λ 为特征方程的根. 步骤如下 (i)求出特征方程?λE–A ?=0的全部根 λ1,λ2,…, λn, 即A的全部特征值； (ii)对每个λi ,求方程组( λiE–A )x = 0 的所有非零 解即为A的对应于特征值λi 的特征向量. 例1 求矩阵A的特征值和特征向量 解 (i) 例2 解(i) 例3 求矩阵A的特征值和特征向量 解 (i) 2.特征值与特征向量的性质 (1)特征值的性质 定理1 若λ1,λ2,…, λn为方阵A的n个特征值，则 (i) λ1λ2…λn =?A?; (ii) λ1+λ2+…+ λn= a11+a22+…+ann=tr(A). 证 (i)根据多项式因式分解与方程根的关系，有 ?λE–A ?= (λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn) 令λ=0，得?–A ?= (-λ1)(-λ2)…(-λn)=(-1)n λ1λ2…λn ,即 ?A?=λ1λ2…λn . (ii)略. 定理2 若λ为方阵A的特征值，则 (i) λk为Ak(k为正整数 )的一个特征值; (ii) 若f(x)为x的多项式,则f(λ)为f(A)的一个特征值； (iii)若A可逆,则λ-1为A-1的一个特征值; λ-1?A?为A*的 一个特征值; 定理3 n 阶方阵A与AT 有相同的特征值. 证 由于 (λE–A)T= (λE)T–AT= λE–AT ,所以 ?λE–A ?= ?(λE–A)T ? = ? λE–AT ? 即A与AT 有相同的特征值. 定理2的证明 例4 已知3阶方阵A的特征值为1，2，-3.求 (1) 2A的特征值；(2) A–1的特征值; (3 tr(A),|A|; (4) A*的特征值; (5) A2的特征值;  (6) B=A2–2A+E的特征值及|B|. 解 由特征值的性质 ，得 (1) 2A的特征值为2，4， – 6； (2) A–1的特征值为1，1/2， –1/3; (3) tr(A)=1+2+( – 3)=0, |A|= 1?2? (-3)= – 6; (4) A*的特征值为– 6， – 3，2; (5) A2的特征值为1，4，9; (6) B=A2–2A+E的特征值为λ2 – 2λ+1即0，1，16； |B|=0. (2)特征向量的性质 定理4 方阵A的对应于不同特征值的特征向量线 性无关. 证 设λ1,λ2,…, λm为方阵A的m个不同特征值, x1,x2,…, xm为相应的特征向量. 当m=1时,x1≠0(单个的非零向量线性无关),定理 成立. 假设对m－1不同的特征值定理成立，现证对m个 不同特征值定理也成立.设 k1x1+k2x2+…+kmxm=0 (*) 用方阵A左乘上式两端,得