第五章线性代数5.pptVIP

§5.1 预备知识: 向量的内积 二、正(负)定二次型的概念 定义: 设有实二次型 f(x)=xTAx,显然 f (0)=0. 如果对任意的 x ? 0, 都有 f(x)0, 则称 f 为正定二次型, 并称对称矩阵A为正定矩阵; 如果对任意的 x ? 0, 都有 f(x)0, 则称 f 为负定二次型, 并称对称矩阵A为负定矩阵. 例如: f = x2 + 4y2 + 16z2 为正定二次型; f = –x12 –3x22 为负定二次型. 三、正(负)定二次型的判别 证明: 设可逆变换 x=Cy 使 定理2: 实二次型 f(x) = xTAx 为正定的充分必要条件是它的标准形的n个系数全为正. 得 于是得正交阵 则 求得基础解系为 如果对?2=?3=4, 由(A–4E)x=0, 得 由于?2, ?3不正交, 需要将其正交化: 则取?2=?2 再将所求特征向量单位化得: 可以验证仍有 三、小结 1. 对称矩阵的性质: (1)特征值为实数; 　 (2)属于不同特征值的特征向量正交; (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等; (4)必存在正交矩阵, 将其化为对角矩阵, 且对角矩阵对角元素即为特征值. 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤: (1) 求特征值; (2) 求特征向量; (3)将特征向量正交化; (4) 将特征向量单位化. 思考题 设n阶实对称矩阵A满足A2=A, 且R(A)=r, 求行列式| 2E–A |的值. 思考题解答 由于A是实对称矩阵, 则存在正交矩阵P, 使得 P-1AP = ? 其中?i ( i = 1, 2, ···, n )为A的n个实特征值. ? = P-1AP = P-1A2P 又由A2=A可得, = P-1AP P-1AP = ?2, 即 因此得, ?i = ?i2 ( i = 1, 2, ···, n ), 所以, A的所有特征值只能是0或1. 其中Er是r 阶单位阵. 从而, | 2E–A |= | 2P-1P–P-1AP |= | 2E–? | = 2n-r. 又因R(A) = r , 故存在可逆阵P, 使得 §5.5 二次型及其标准形 一、二次型及其标准形的概念 定义: 含有n个变量x1, x2, ···, xn的二次齐次函数 f(x1, x2, ···, xn) = a11x12+a22x22+···+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+···+2an-1,nxn-1xn 称为二次型. 当aij 是复数时, 称 f 为复二次型. 当aij 是实数时, 称 f 为实二次型. 只含有平方项的二次型 f(x1, x2, ···, xn) = k1y12+k2y22+···+knyn2 称为二次型的标准形(或法式). 例如: f(x1, x2, ···, xn) = 2x12+4x22+5x32–4x1x2; f(x1, x2, ···, xn) = x1x2+x1x3+x2x3 都为二次型. 5.5 f(x1, x2, ···, xn)=x12+4x22+4x32 二、二次型的表示方法 对二次型 1. 用和号表示 f(x1, x2, ···, xn)=a11x12+a22x22+···+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+···+2an-1 nxn-1xn 取aji = aij , 则 2aij xi xj = aij xi xj + aji xjxi , 于是 =a11x12+a12x1x2 +···+a1nx1xn +a21x2x2 + a22x22+···+a2nx2xn +··· ··· +an1xnx1+an2xnx2+ ···+ann xn2 f(x1, x2, ···, xn) 为二次型的标准形. 2. 用矩阵表示 =x1(a11x1+a12x2 +···+a1nxn) +x2(a21x2+a22x2+···+a2nxn) +··· +xn(an1x1+an2x2+ ···+ann xn) f(x1, x2, ···, xn) 则二次型可记作 f = xTAx, 其中A为对称矩阵. 若记 三、二次型的矩阵及秩 　　在二次型的矩阵表示中, 任给一个二次型, 就唯一地确定一个对称矩阵; 反之, 任给一个对称矩阵, 也可唯一地确定一个二次型. 这样, 二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．