第五章特征值与特征向量(0808).pptVIP

第5章 特征值与特征向量 §5.5 若当（Jordan）标准形简介 而 又设 是A的另一个特征值 对于特征值 ，求解 得属于 的两个线性无关的特征向量 对于特征值 ， 得属于 的一个特征向量： 于是令： 有 在上一节讨论了一般方阵的相似对角化问题，并看到了并非所有方阵都能与对角阵相似。本节将讨论一类特殊的矩阵——实数域上的对称阵（简称为实对称阵）的相似对角化问题，并说明实对称阵总是可以对角化的。 §5.4 实对称矩阵的相似对角化 定理5.8　对称矩阵的特征值为实数. 证明：设 是A的特征值， 是A属于 的特征向量，则 对上式两边取共轭向量，有 即 再对上式求转置 一、实对称阵的特征值与特征向量的性质 由于A为实对称阵，故 ， 从而 但 ，故 ，于是 ，这说明 必为实数。 定理5.9 实对称阵A的属于不同特征值的特征向量必定正交。即若 是A的互异特征值， 分别是对应的特征向量，则必有 。 证明：因为 （ ）， 且 则有 但 ，故有 所以 与 正交 定理5.10 设A是n阶实对称矩阵， 是A的n个特征值（包括重数在内），则必存在正交矩阵P，使得 下面的定理表明了任意一个实对称矩阵总是可以对角化的，并且可以通过正交矩阵来实现，这是一个非常重要的结论。 二、实对称矩阵的对角化 证明：对矩阵的阶数n应用数学归纳法 当 时，定理显然成立 假定定理对 阶实对称矩阵成立，下面证明定理对n阶实对称矩阵也成立 设 是A的任意一个特征值， 是属于 的一个 特征向量，并假定 为单位向量， 又设 是以 为第一列的n阶正 交矩阵，则 由于 是实对称矩阵，则 必为n阶实对 称矩阵 由归纳假设知：存在 阶正交矩阵 ，使得 令 故 也是正交矩阵 令 由于 及 都正交，则P必然是正交矩阵 显然， 其中的就是A的n个特征值 注意（1）若 是实对称矩阵A的r重特征值， 则必有 ，也就是说，对于实对 称矩阵A而言，几何重数总是等于代数重数的 （2）若设 ，由于P是正交 阵，则 ，即 （2） 即 （k为正整数） （3） 从而 定理5.6 设A,B 都是n阶方阵，且A与B相似，即 ，则 (1) (2) （3） A与B相同的特征多项式、相同的特征值 证明：由 知，存在可逆矩阵P，使得 （1）由于用可逆矩阵左乘或右乘A，不改变其秩，故 （2） 则A与B有相同的行列式。 （3） 故A与B有相同的特征多项式，进而有相同的特征值 注意：若 （ ）， 即是A的属于 的特征向量， ，由于： 从而 是 的属于 的特征向量。由此可见相似矩阵属于同一特征值的特征向量往往是不同的 矩阵的相似关系的重要特性就是两个相似的矩阵之间具有许多相同的性质，在研究矩阵的许多问题时，人们常利用相似关系将A的讨论通过 转移到B的讨论上去。 可以理解为将矩阵A进行了分解（常叫相似分解），分解的目的是为了简化对的讨论。于是人们当然希望B越简单越好，例如是最简单的对角阵。 §5.3 矩阵的相似对角化一、矩阵与对角阵的相似 若A能与对角阵相似，则称A能对角化，即存在可逆的矩阵P，使得 此时 ，这样对A的讨论转移到了对对角阵 的讨论上去了 并非任何方阵都能对角化，那么当方阵A满足什