信号检测和估计2006-第7讲线性贝叶斯估计维纳滤波.pdf

线性贝叶斯估计问题 杨文 电子信息学院 教学实验大楼十楼1008室 E-mail: yw@eis.whu.edu.cn 贝叶斯估计 最小均方差估计（MMSE）总是后验概率 密度的均值（后验均值） 最大后验概率估计（MAP）总是后验概 率密度的峰值（后验峰值） 当后验概率密度函数为对称于其后验均 值的单峰密度函数时，MMSE估计或MAP 估计是众多类型代价函数的最佳估计量。 估计量的不变性 由于代价函数的选择往往带有某些主观的武断性，如能证明 由于代价函数的选择往往带有某些主观的武断性，如能证明 在一定条件下最佳估计量与所选定的代价函数无关是很有意 在一定条件下最佳估计量与所选定的代价函数无关是很有意 义的。 义的。 性质：若代价函数1 C (ε)是对称的凸U函数，且后验概率密度函数 p(θ|x)对称于其后验均值，即 1）C(ε)=C(-ε)(对称性) 2) C(bε +(1-b)ε ) bC(ε )+(1-b)C(ε )（凸性）0 b 1 ≤ ≤ ≤ 1 2 1 2 def ˆ 3) p(ϕ|x)=p(-ϕ|x)(对称性) ϕ＝θ θ θ θ − MMSE =−E ( | x ) ˆ ˆ 在这种情况下，使上述这一类代价函数最小的最佳估计θ与θMAP ˆ ˆ 或者θ 一致。若C(ε)是严格凸U函数，则最佳估计θ是惟一的， MMSE ˆ ˆ 且等于θ 或θ 。 MAP MMSE 估计量的不变性 性质2：若代价函数C(ε)是对称的非减函数，即 1）C(ε)=C(-ε)(对称性) ≥ ≥ d ⎧ 0 ε 0 2) C(ε) ⎨ ≤ ≤ dε ⎩ 0 ε 0 同时后验概率密度是对称于条件均值的单峰函数，即 def ˆ ˆ − =− 3) p(ϕ|x)=p(-ϕ|x)(对称性) ϕ＝θ θMMSE θ θMAP 且满足条件4 4）lim C（ ）p( |x)=0 ϕ ϕ ϕ→∞ ˆ ˆ ˆ 则使这一类代价函数最小的最佳估计 与 或者 一致。 θ θ θ MMSE MAP 估计量的不变性告诉我们：对相当广泛的一类代价函数，只要性质1和2的条件得 估计量的不变性告诉我们：对相当广泛的一类代价函