直接证明与间接证明24182.docVIP

直接证明与间接证明 　　 本周题目：直接证明与间接证明　　本周重点：　　（1）结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解间接证明的一种基本方法：反证法.　　（2）了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点.　　本周难点：　　根据问题的特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.　　本周内容： 　　 一、直接证明　　1、综合法　　（1）定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.　　（2）综合法的特点：综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论.　　2、分析法　　（1）定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法.　　（2）分析法的特点：分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.　　二、间接证明　　反证法　　1、定义：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.　　2、反证法的特点：　　反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.　　３、反证法的优点：　　对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.　　４反证法主要适用于以下两种情形：　　（1）要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；　　（2）如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.　　例题选讲　　例1：求证： . 　　分析：待证不等式的左端是3个数和的形式，右端是一常数的形式，而左端3个分母的真数相同，由此可联想到公式 ，转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式.　　证明：　　 ，　　左边 　　 　　 　　 　　 ，　　 .　　评注：用综合法证明问题，可用框图表示为：　　 　　例2．如图，设在四面体 中， ， ， 是 的中点.　　求证： 垂直于 所在的平面.　　 　　分析：要证 垂直于 所在的平面，只需在 所在的平面内找到两条直线与 垂直.　　证明：连 、 　　因为 是 斜边上的中线，　　所以 　　又因为 ,而 是 、 、 的公共边，　　所以 　　于是 ,　　而 ，因此 　　 ， 　　由此可知 垂直于 所在的平面.　　评注：现将用综合法证题的过程展现给大家，供参考：　　（1）由已知 是 斜边上的中线，推出 ，记为 （已知） ；　　（2）由 和已知条件，推出三个三角形全等，记为 ；　　（3）由三个三角形全等，推出 ，记为 ；　　（4）由 推出 ，记为 （结论）.　　这个证明步骤用符号表示就是 （已知） （结论）.　　这是一例典型的综合法证明.　　例3.求证： 　　分析：由于本题所给的条件较少，且不等式中项都是根式的形式，因而用综合法证明比较困难.这时，可从结论出发，逐步反推，寻找使命题成立的充分条件； 　　此外，若注意到 ， ，也可用综合法证明.　　证明：　　方法一：分析法　　要证 成立，　　只需证明 ，　　两边平方得 ，　　所以只需证明 ，　　两边平方得 ，　　即 ，　　 恒成立，　　原不等式得证.　　方法二：综合法　　因为 ， ，　　 ，　　所以 .　　所以 .　　所以 .　　即原不等式成立.　　评注：当条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法.　　例4.若 求证： .　　分析：比较已知条件和结论，可知已知是切函数，结论是弦函数，已知含有角 与 ，结论中含有角 与 ，所以可从已知出发，采用切化弦，统一函数名称；从结论出发，统一角，即把 与 分别写成 的形式.　　证明：由 ，得 ，　　即 　　　　 （*）　　另一方面，要证 ，　　即证 ，　　即证 ，　　化简，得 .