第3章 多维随机变量和其分布1,2,3,4.pptVIP

为Y＝ yj 的条件下，X的条件分布律; 若对固定的j, p.j0, 则称 同理，对固定的i, pi. 0, 称 为X＝ xi 的条件下，Y的条件分布律; 例3.7 射手击中目标的概率为p (0p1),设X表示首次击中目标的射击次数，Y表示第二才击中目标时的总射击次数，求联合分布律和条件分布律。 解 3.3.2 二维连续型随机变量的条件分布 定义. 给定y，设对任意固定的正数?0，极限 存在，则称此极限为在条件条件下X的条件分布函数.记作 可证当 时 若记 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则由(3.3.3)知,当 时， . 类似定义，当 时 例2.已知(X,Y)的概率密度为 (1)求条件概率密度 (2)求条件概率 x y 1 解: =… 例3.8 已知(X,Y)在圆域上 解 由题意 (X,Y)关于X的概率密度为 例3.9 设(X,Y)的联合概率密度为 求X与Y的条件概率密度。 解 (X,Y)的联合概率密度f(x,y)仅在三角形区域 0x1,0yx内取非零值，所以 G y=x 1 例3.10 设(X,Y)的联合概率密度为 解 由于 3.4 随机变量的独立性 定义 称随机变量X与Y相互独立，如果对任意实数ab,cd，有 p{aX?b,cY?d}=p{aX?b}p{cY?d} 即事件{aX?b}与事件{cY?d}独立，则称随机变量X与Y相互独立。 定义3.9：设F(x,y)及FX(x) FY(y)分别是随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数。如果对任意x,y,都有P{X≤x,Y ≤y}= P{X≤x}P{Y ≤y},即F(x, y)=FX(x) FY(y)则称 X与Y相互独立。 定理3.1 设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y) 定理3.2 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pi,j=Pi?.P?j ，即 由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可。 例.已知随机变量(X,Y)的分布律为 且知X与Y独立，求a、b的值。 解 例3.11 解 （1）(X,Y)的概率密度为 (3) (2) X与Y相互独立。 n维连续型随机变量及其分布的有关定义和结果（略）. 事实上，对n维随机变量(X1, X2, … , Xn)， F(x1, x2, … , xn)＝P(X1? x1, X2 ?x2, … , Xn ?xn) 称为的n维随机变量(X1, X2, … , Xn)的分布函数， 或随机变量X1, X2, … , Xn的联合分布函数。 定义2.5.6. n维随机变量(X1,X2,...Xn)， 如果存在非负的n元函数f(x1,x2,...xn)使对任意的 n元立方体 定义2.5.7. 若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,...Xn)为n维离散型的，称 P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn} ，(x1,x2,...xn) 为n维随机变量(X1,X2,...Xn)的联合分布律。 则称(X1,X2,...Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,...xn)为(X1,X2,...Xn)的概率密度。 定义. 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为F(x1,x2,...xn), (X1,X2,...Xn)的k（1?kn)维边缘 分布函数就随之确定，如关于(X1,X2）的 边缘分布函数是 FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2,??,?...?) 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n, 则称X1,X2,...Xn 相互独立，或称(X1,X2,...Xn)是独立的。 对于离散型随机变量的情形，若对任意整数 i1, i2, …, in及实数 有 则称离散型随机变量X1, X2, …, Xn相互独立。 设X1，X2，…，Xn为n 个连续型随机变量，若对任意的(x1, x2, …, xn)?