分形图和其函数.docVIP

Mandelbrot 集的定义方法在复平面中，迭代表达式为 （1） 式中Z和C都是复数，由各自的实部和虚部组成。分离Z和C的实部和虚部，则： 式中：为复数的实部；为复数的虚部；为虚常数，。第个点，即平面上的点，从到的迭代过程就是 （实部） （虚部） 令初始值Z0 = 0 ( 即Z0 = 0 + 0·i ) ，C ≠0 ( 其中 p 和q 在各步迭代中都保持为常数)。迭代计算中，把前一个Z 值的输出作为下一个Z 值的输入，代入 Zk ← Z2k + C 反复运算，得到一连串的复数。每做一次迭代，新的复数就离开前一个复数一段距离，就如同一个点在复平面上跳舞。由系统生成的M 集的图形见图1 函数：其中，（这里 ） 对于k 2 的广义Mandelbrot集即高次幂Mandelbrot 集，其集图像更为丰富［10］。图2 示出3 阶M 集到10 阶M 集的图形。 1、函数变换： 1） 改变迭代式中x 与y 的位置。把原来从到的迭代过程式中的和改变位置，则转换成: （实部） （虚部） 函数变换后得到的M 集图形如图3( a) 所示 即：函数为：其中，（这里 ）对应分形图为： 2）改变算术符合的图形。把原来从到的迭代过程式中实部的负号变成正号，变换如下： （实部） （虚部） 函数变换后得到的M 集图形如图3( b) 所示 即：函数为：其中，（这里 ）对应分形图为： 3）互换迭代式之后的图形。把原来从到的迭代过程式中实部的和虚部的互换，变换如下： （实部） （虚部） 函数变换后得到的M 集图形如图3( c) 所示 即：函数为：其中，（这里 ）对应分形图为： 2、 函数迭加 对M 集的二次幂迭代式和三次幂迭代式进行函数迭加变换，得到的图形如图4 ( a) 所示。对M 集的二次幂迭代式和三角函数( 正弦函数) M 集的三次幂做迭加，得到的图形如图4( b) 所示。 3、三角函数M集 以或替换迭代式中的变量，即可得三角函数M集： 。则三角函数的M集分形图如图5所示。 4、高阶三角函数M 集 将高阶与三角函数M 集结合起来，即可得到高阶三角函数M 集。图6 为高阶三角函数M 集图。图6( a) ～ ( f) 展示的生成图形依次为:二阶余弦函数、二阶正弦函数M 集、三阶余弦函数、三阶正弦函数M 集、四阶余弦函数、四阶余弦函数M 集的图形。