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第七节 偏导数在几何上的应用 一、空间曲线的切线和法平面 空间曲线的参数方程为，为曲线上一 固定点，为曲线上任意点。过两点可作直线： ，其方程还可写为 当（即）时，直线方程可写成 此即为曲线在处的切线方程为点对应的参数。 向量为曲线在点的切向量。 曲线的法平面方程： 。 例1：求曲线在点处的切线 和法平面方程。 解：点对应的值为。 ，， 所求切线方程为： 法平面方程为： 如果曲线方程为一般方程,无妨设已化为参数方 程 切线方向向量为 例2：求曲线在点处的切线和法平面。 解：设 所求切线方程为： 法平面方程为： 二、曲面的切平面和法线 曲面的一般方程为：，为曲面上一 点。过此点在曲面上可作无数条曲线，设曲线的参数方程为 ，过的切线方程为 把曲线方程代入曲面方程得：，对求导 得 当时， 设，此向量称为曲 面在点的法向量。平面 称为曲面在点的切平面。 直线称为曲面在 点的法线。 例3：求椭球面在点处的切平面方 程和法线方程。 解：设 所求切平面方程为： 法线方程为： 注：若曲面方程为，则可设 此曲面在点处的法向量为 例4：求曲面与平面平行的切平面方程。 解:曲面过点的法向量为 则切平面方程为 因为切平面与平面平行，所以 所求切平面为： 例5：求函数在椭球面上点 处沿外法方向的方向导数。 解：椭球面上点处法向量为 （怎么判定以外法向量，这正是外法向量） 化为方向相同的单位向量： 所求方向导数为：。 例6：证明：曲面在任意点的切平面都经过原点， 其中具有连续偏导数。 解：曲面在任意点处法向量为： 切平面方程为： 命题结论得证。