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《近世代数》课程教学大纲 课程名称： 近世代数 课程性质：专业基础课 课程代码：3040106 3040107 总 学 时：72 适用专业：信息与计算科学 学 分：4 一、课程教学目标 通过本课程的学习，使学生掌握群、环和域的基本概念和基本理论，并且使学生体会现代数学思想、语言及方法，从而培养他们的抽象思维和逻辑思维能力。 二、课程目的与任务 近世代数是信息与计算科学专业的一个专业基础课，是讲述群、环、域等代数结构的基本性质的一门大学课程，它是今后学习和研究代数学的基础，也是研究其它数学分支、物理学和计算机科学等不可缺少的工具，是中学代数的继续和提高，是指导中学数学教学的必要知识。 三、课程教学的基本要求 通过学习群、环、域等代数结构，掌握研究代数学的基本方法：由具体事物科学地抽象出一般概念，再运用这些概念进行逻辑推理，揭示出事物的新的性质。培养学生的逻辑推理能力，即运用概念和已知的定理、性质进行推理判断能力。 四、课程教学学时分配数 章次 各章名称 总学时 学 时 分 配 讲课 习题课 小计 一 基本概念 8 7 1 8 二 群 16 14 2 16 三 正规子群与群的同态与同构 14 12 2 14 四 环与域 20 18 2 20 五 惟一分解整环 9 8 1 9 六 域的扩张 5 4 1 5 总 计 72 63 9 72 五、大纲内容 第一章 基本概念（8学时） 　? 1、教学目的及基本要求 ?? （1）理解集合的概念，了解元素与集合之间的关系，以及集合之间的运算。 ?? （2）理解映射的概念，能在集合之间建立映射关系，并能判断两个映射是否相同？ ???（3）掌握代数运算与映射的关系，能建立有限集合之间的运算表。 ?? （4）掌握将结合律、交换律、第一、第二分配律推广到n元的定理，并能判断给定的运算能否满足结合律、交换律以及两种分配律。 ?? （5）掌握一一映射的定义，并能建立两个集合之间的满射、单射、一一映射，能判定给定的映射是否是一一映射。 ?? （6）掌握同态映射的概念，理解同态与同态满射的关系，并能判定映射是否是同态满射，掌握具有同态满射的集合之间的联系。 ?? （7）掌握同构映射和自同构的概念，能区分同态与同构的差别，理解两个具有同构关系的集合之间的关系，并能判定给定的映射和运算是否是同构关系，能建立两个集合之间的同构映射。 ?? （8）理解关系和等价关系的概念，掌握等价关系和分类之间的转换定理，和熟练判定给定的关系是否是等价关系，并熟悉剩余类的基本特性，以便为群、环提供典型的范例，能建立整数间给定的模的剩余类。 ??? 2、教学重点：一一映射、同态、同构、自同构、分类。 3、教学难点：建立映射关系与同构关系，等价关系与分类之间的相互转换。 4. 教学内容 §1 集合 §2 映射与变换??? §3 代数运算 §4 运算律 §5 同态与同构 ??? §6 等价关系与集合的分类 ?5.学法指导 以讲授为主，通过讲授主要内容来加强学生对该章知识的理解，通过数学实验课（习题课）加强学生的数学方法理解 6. 作业 P11 1；p15 5；p20 1；p24 1；p28 1,2。 7. 小结 通过本章的学习，能够熟练掌握近世代数中常见的一些基本概念和符号，初步了解近世代数课程研究的对象和一般的研究方法。 第二章 群(16学时) ? 1、教学目的及基本要求 ?（1）了解群的第一、第二定义，并掌握两者之间的等价转换，理解左、右单位元，左、右逆元的意义，掌握有限群、无限群、群的阶和交换群的概念。 ?? （2）充分掌握单位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定义，能熟练掌握群与阶的关系。 ?? （3）了解有限群的定义，并理解该定义不适用无限群的原因。 ?? （4）理解群同构、同态的定义，掌握和一个群同态的集合也成群的证明，掌握群同态的有关性质，并能证明在同态满射下，单位元的象也是单位元，元a的逆元的象是a的象的逆。 ?? （5）掌握循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点，熟练掌握剩余类加群，理解任一循环群可以与整数加群或模为n的剩余类加群同构，以及与循环群同态的群的性质。 ?? （6）了解变换的符号和变换的乘法，了解可以成群的变换只包含一一变换，且单位元一定是恒等变换，了解变换群的定义和性质，理解任何一个群都同一个变换群同构的定理的证明。 ?? （7）理解置换与置换群的定义与性质，理解每一个n元置换都可以写成若干个互相没有共同数字的（不相连）的循环置换的乘积的证明，理解有限群与置换群的同构关系。 ?? （8）了解子群的定义，掌握群的子集成群的充分而且必要的条件与判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群与子群中的单