计算方法线方程组直接解法.docVIP

第六章 线性方程组的解法-直接法 知识点：顺序Gauss消去法，列主元法，全主元法，高斯-约当消去法，范数及误差概念 1.概 念 考察线性方程组 则线性方程组可简记为AX=B. 如果det(A)≠0,则可采用克来姆法则或矩阵求逆来解方程组，但二者工作量都很大，因此，就有了寻求数值解考虑。直接法和迭代法都是求解线性方程组数值解的常用方法。 直接法是经过有限步算术运算求方程组的精确解（假设计算过程中无舍入误差）。 2.Gauss消去法（古老的直接求解线性方程组的方法） (1)顺序Gauss消去法 顺序消去未知数x1,x2,...,xn的方法。 例1 .解方程组 -1 -1x(1)+(2) -2x(1)+(3) 用(1)消去(2),(3)中x1，并保留(1)。 2x(4)+(5) 用(4)消去(5)中x2并保留(1),(4)。 解：原方程组 得上三角形方程组，回代得解：x=[1,2,3]T。 求解过程中假设了变换后的同解方程组或等价矩阵的主对角元非零,即≠0。 一般计算过程见教材P106-109，算法见教材110-111，运算量见教材111，须认真阅读 (2)主元素Gauss消去法（运用） ①列主元消去法 在一列中选取按模（绝对值）最大的元素，将其调到主干方程位置进行顺序消元的方法。 例2.用列主元消去法解方程组(选择第一列中绝对值最大元) (A| (A|b) 1，2行交换 第2行交换到主干行，第1行。 消元 2，3行交换第3行交换到 2，3行交换 第3行交换到主干行，第2行。 消元 消元 回代得解：x=[1,2,3]T ②全主元消去法 在方程组整个系数矩阵A中选取绝对值最大的元素作为主元素，适当交换方程组中方程或未知数位置次序进行消元的方法。 例4用全主元消去法解例2所示方程组，取四位有效数字。 解 首先，三个方程的系数中绝对值最大者为-18（做主元），交换第一个方程与第二个方程的位置，以交换后的方程组的第一个方程为主干方程，消去其余两个方程中的x1，得 然后，在方程组中的后两个方程中，再选取系数中绝对值最大者为主元，此时主元应为2.333。交换方程组中x2和x3位置，并消去x3得 回代得解：x=[1.000,2.000,3.000]T 主元素消去法是为控制误差而提出的一种算法，做法与顺序高斯消去法基本一样，只是每次在消去一个元素之前要选择一次主元素，确保舍入误差不扩散。从算法优化的角度考虑，Gauss列主元消去法比较好，进一步描述参见教材相关章节。 (3)高斯-约当消去法 高斯消元法将系数矩阵化为上三角矩阵，再进行回代求解。而Gauss-Jordan消去法是将系数矩阵化为对角矩阵，再进行求解，无回代过程见教材P112。 3.矩阵三角分解法 LU分解相关信息见教材P118-123（阅读）。 4.误差分析 范数及误差概念见教材P127-130。 理解计算量统计、消去法一般解释115-117、范数。