聚焦幂函数图像和性质.docVIP

《聚焦幂函数的图像和性质》发表在《学习报》2010-2011第4期总第1116期 第2版 2010年7月23日国内统一刊号CN14-00708/(F) 邮发代码：21-79 聚焦幂函数的图像和性质 特级教师 王新敞 函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数． 幂函数同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，注意辨析． 1．五个基本幂函数的图象： 对于幂函数、、、、的图象要会画，并注意各自的增减情况和图象与直线的位置关系．幂函数、、、、的图象如下： 2．幂函数的的性质及图象变化规律： ①所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； ②时，定义域为R，幂函数的图象通过原点和点(1,1)，并且在区间上是增函数． ③当时，幂函数的图象在区间上下凸且快速上升；当时，幂函数的图象在区间上上凸且上升速度缓慢； ④时，幂函数的图象过点(1,1)，在区间上是下凸递减．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴，即以为渐近线． 　⑤函数的图像，因α的取值不同，可能在第Ⅰ、Ⅱ象限为偶函数，也可能在第Ⅰ、Ⅲ象限为奇函数，也可能仅在第Ⅰ象限为非奇非偶函数.但不可能在第Ⅳ象限. ⑥对于有理数，若其中的为偶数时，则函数是非奇非偶函数，图象只在第一象限；若其中的为奇数、是奇数时，函数是奇函数；若其中的为奇数、是偶数时，函数是偶函数.　 ⑦幂函数的图象按照的取值及曲线的基本形状分类，可以分为五类十一种情况（右下方为实例函数作代表）： 偶奇 奇偶 奇奇 两种特殊图像 例1．若幂函数的图象在第一、二象限，且不过原点. 则 ( ) （A）； （B）； （C）； （D）. 解析：由幂函数的图象在第一、二象限知，n为偶数、m为奇数；由图象不过原点知α0，所以p为奇数.　故选C. 例2．作出函数的图象，并判断它的奇偶性，单调性. 解：函数图象由函数图象向右平移2个单位得到. 作法：作出函数图象，将轴向左平移2个单位，得到函数图象； 奇偶性：非奇非偶函数； 单调性：减函数；减函数. 　　　点评：通过图象的平移画出较复杂的函数图象，从而研究函数的性质. 幂函数的图象和幂函数的性质有着密不可分的关系.　一方面，我们可以借助函数的性质，大致地确定幂函数图象的范围（定义域、值域）和形状（奇偶性与单调性）；另一方面，我们也可以通过观察幂函数的图象来更全面地挖掘幂函数的性质，从而加深对幂函数性质的理解.