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第75讲 几何选讲证明 【考点解读】 1. 掌握相似三角形的判定定理及性质定理. 2. 理解直角三角形射影定理. 3. 理解圆周角定理及其推论. 4. 掌握圆的切线的判定定理及性质定理，理解弦切角定理及其推论. 5. 掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理. 6. 理解圆内接四边形的性质定理与判定定理. 7. 了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）. 【知识扫描】 1.直角三角形的射影定理： 直角三角形斜边上的高是 的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上 与 的比例中项. 2. 圆周角和弦切角定理 （1）圆上一条弧所对的 等于它所对的 的一半. 推论1： 或 所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角 也相等. 推论2：半圆（或直径）所对的 是直角；90°的圆周角所对的弧是 . （2）弦切角等于它所夹的弧所对的 . 3. 圆幂定理 （1）相交弦定理： 的两条 ，被交点分成的 的积相等. （2）切割线定理：从圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的 . （3）割线定理：过圆外一点作圆的两条 ，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积 另一条割线上对应线段长的积. 4. 切线长定理 从 一点引圆的两条切线，它们的 相等，圆心和这一点的连线 两条切线的夹角. 5. 圆内接四边形的性质与判定定理 （1）性质定理：圆内接四边形的对角 . 推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的 . （2）判定定理：如果一个四边形的 ，那么这个四边形的四个顶点 . 推论：如果四边形的一个外角等于它的 ，那么这个四边形的四个顶点 . 6. 平行射影 一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影. 7. 平面与圆柱面的截线 圆柱形物体的斜截口是椭圆，直截口是圆. 【考计点拨】 牛刀小试： 1.如图，在△ABC中，∠1=∠B，则△ACD ∽△ ABC .此时，若AD=3，BD=2，则AC= . 2.如图，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，∠BAC=60°，则∠ADB的度数为 1200 . 第1题图 第2题图 3. 如图，AB=BC=CD，∠E=40°，则∠ACD= 15° . 4. 如图，点P为弦AB上一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=4，PB=2，则PC的长是 . 第3题图 第4题图 PABOC5. (广东省汕头市2012届高三教学质量测评)已知是的切线，切点为，直线交于、两点，，，则的面积为 ． P A B O C 【答案】 【解析】由弦切角定理，，由，得，在中，，，． 典题分析： 【例1】如图，直线l分别交△ABC的边BC，CA，AB所在直线于点D，E，F，且AF=AB，BD= BC，求. 解：作CN∥AB交DF于点N，由平行线分线段成比例定理得，，两式相乘得.又由AF=AB得=2，由BD=BC得DCDB=35，则. 规律小结： 1．三角形相似的判定定理与性质定理注意顶点的对应关系； 2. 直角三角形的射影定理的应用。 变式训练1：如图，等边三角形DEF内接于△ABC且DE∥BC,已知AH⊥BC于H，BC=4 cm,AH=2 cm,则△DEF的边长为 cm. 解:∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC. 又∵AH⊥BC,DE∥BC,∴AG⊥DE, ∴. 设DE=x，则GH=x, ∴AG=AH-GH=2-x, ∴,解得x=cm. 【例2】如图，已知⊙O的半径为9 cm，OP=7 cm，弦AB过P点，且PA=2PB，求AB. 分析 这个图形比较容易联想到相交弦定理的基本图形，因此可以将线段OP向两边延长． 解 作过P点的直径CD，则 PC=9-7=2（cm），PD=9+7=16（cm）. 根据相交弦定理得PA·PB=PC·PD. ∵PA=2PB，∴2PB2=2×16，解得PB=4（cm）. ∴AB=PA+PB=8+4=12（cm）. 变式训