第5章代数统的一些性质.docVIP

第五章 代数系统的一般性质 代数的概念与方法是研究计算机科学和工程的重要数学工具。众所周知，在许多实际问题的研究中都离不开数学模型，而构造数学模型就要用到某种数学结构，而近世代数研究的中心问题是代数系统的结构：半群、群、格与布尔代数等等。近世代数的基本概念、方法和结果已成为计算机科学与工程领域中研究人员的基本工具。在研究形式语言与自动机理论、编码理论、关系数据库理论、抽象数据类型理论中，在描述机器可计算的函数、研究计算复杂性、刻画抽象数据结构、研究程序设计学中的语义学、设计逻辑电路中有着十分广泛的应用。 5.1　代数运算及其性质 5.1.1代数运算的定义 定义5.1.1 设S是一个非空集合， （1）函数f：SS,称为一个S上的一个一元运算。 （2）函数f：SSS,称为一个S上的一个二元运算。 记号： f(x,y)=z, xfy=z xy=z （3）函数f：SS…S S,称为一个S上的一个n元运算。 ［例5.1.1］　(1)数理逻辑中的联结词；集合论中的并运算、交运算和补运算；整数集中的加法、减法和乘法运算都是相应集合上的运算. (2)但Z中的除法不是一个二元运算。 (3) 在Z商定义xy=x+y-2,则是一个二元运算。 当S是有限集时，S上的一元、二元运算可用运算表来定义。 定义5.1.2 设是集合S上的n元运算，S是S的一个非空子集。若对x 1，x 2，…，x nS，有（x 1，x 2，…，x n）S，则称S关于运算是封闭的。 ［例5.1.2］　实数集关于数的普通除法是封闭的，整数集关于数的普通加法不是封闭的。 5.1.2代数运算的性质 定义5.1.3 设是集合S上的二元运算。若 EMBED Equation.3 x，y∈S，xy=yx， 则称运算满足交换律（或称是可交换的）。 定义5.1.4 设是集合S上的二元运算。若 EMBED Equation.3 x，y，z∈S，(xy)z = x(yz)，则称运算满足结合律（或称是可结合的）。 定义5.1.5 设是集合S上的二元运算。若 EMBED Equation.3 x∈S，xx = x，则称运算满足幂等律。 定义5.1.8 设和是集合S上的二元运算。若 EMBED Equation.3 x，y，z∈S， x(yz)=(xy)xz）， (yz)x =(yx)(zx)， 则称关于满足分配律。 定义5.1.9 设和是集合S上的二元运算。若 EMBED Equation.3 x，y∈S， x(xy)=x x(xy)=x 则称关于满足分配律。 ［例5.1.3］　R上的加法和乘法运算是可交换的，也是可结合的；但减法却是不可交换和不可结合的；乘法关于加法是可分配的，但加法关于乘法则是不可分配的。任一集合的幂集上的并和交运算是可交换和可结合的，并且它们是相互可分配的。 注：若运算是可结合的，则有时我们简称为乘法，而把xy简记为xy，称为x与y的积。 5.1.3特殊元素：单位元、零元、逆元 定义5.1.10 设是集合S上的二元运算。 （1）若el∈S，使得x∈S，有elx=x，则称el是关于运算的左单位元（左么元）； （2）若er∈S，使得x∈S，有xer=x，则称er是关于运算的右单位元（右么元）； （3）若e∈S，使得x∈S，有ex＝xe=x，则称e是关于运算的单位元（么元）。 定理5.1.3 设是集合S上的二元运算，且el，er分别为关于运算的左和右么元，则关于运算存在唯一么元e且 e=el=er。 证明： el= el er= er 记e=el=er 定义5.1.11 设是集合S上的二元运算。 (1)若0l∈S，使得x∈S，有0lx=0l，则称0l是关于运算的左零元； (2)若0r∈S，使得对x∈S，有x0r =0r，则称0r是关于运算的右零元； (3)若0∈S，使得对x∈S，有0x＝x0=0，则称0是关于运算的零元。 定理5.1.4 设是集合S上的二元运算，且0l，0r分别为关于运算的左和右零元，则关于运算存在唯一零元0且 0=0l=0r。 ［例5.1.4］　R上，关于加法的单位元是0，但无零元；关于乘法的单位元为1，零元为0；关于减法的右单位元是0，但无左单位元，故无单位元。在任一集合S的幂集(S)上，是集合并运算的单位元、交运算的零元，S是集合交运算的单位元、并运算的零元。 定义5.1.12 设是S上的二元运算，e 为关于运算的单位元，x∈S， (1)若存在x l∈S，有xlx= e，则称xl是关于运算的左逆元； (2)若存在xr∈S，有xxr = e，则称xr是关于运算的右逆元； (3)若存在∈S，有x＝x= e，则称是关于运算的逆元。 定理5.1.5 设是集合S上可结合的二元运算，e 为关于运算的单位元，x∈S，且x