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立几练习 1．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 解：取球心O与任一棱的距离即为所求．如图，AE=BE= eq \f(\r(3),2)a， AG= eq \f(\r(6),3)a，AO= eq \f(\r(6),4)a，BG= eq \f(\r(3),3)a，AB∶AO=BG∶OH． OH= eq \f(AO·BG,AB)= eq \f(\r(2),4)a．V= eq \f(4,3)πr3= eq \f(\r(2),24)πa3．填 eq \f(\r(2),24)πa3．． 2．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是． 【解】 作正方体的截面BB1D1D，则A1C1⊥面BB1D1D．设A1C1与B1D1交于点O，在面BB1D1D内作OH⊥BD1，H为垂足，则OH为A1C1与BD1的公垂线．显然OH等于直角三角形BB1D1斜边上高的一半，即OH=． 3．在四面体ABCD中， 设AB=1，CD= eq \r(3)，直线AB与CD的距离为2，夹角为 eq \f(?,3)，则四面体ABCD的体积等于 (A) eq \f(\r(3),2) (B) eq \f(1,2) (C) eq \f(1,3) (D) eq \f(\r(3),3) 解：如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积=1× eq \r(3)×sin eq \f(π,3)×2=3． 而四面体ABCD的体积= eq \f(1,6)×平行六面体体积= eq \f(1,2)．故选B． 4．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ． 解：如图，ABCD是下层四个球的球心，EFGH是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH在平面ABCD上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD绕其中心旋转45?而得．设E的射影为N，则 MN= eq \r(2)－1．EM= eq \r(3)，故EN2=3－( eq \r(2)－1)2=2 eq \r(2)．∴ EN= eq \r(4,8)．所求圆柱的高=2+ eq \r(4,8)． 5．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为 ( ) A． eq \f( eq \r(5),3) B． eq \f(2 eq \r(5),3) C． eq \f( eq \r(6),3) D． eq \f(2 eq \r(6),3) 解：AB⊥OB，?PB⊥AB，?AB⊥面POB，?面PAB⊥面POB． OH⊥PB，?OH⊥面PAB，?OH⊥HC，OH⊥PC， 又，PC⊥OC，?PC⊥面OCH．?PC是三棱锥P－OCH的高．PC=OC=2． 而?OCH的面积在OH=HC= eq \r(2)时取得最大值(斜边=2的直角三角形)． 当OH= eq \r(2)时，由PO=2 eq \r(2)，知∠OPB=30?，OB=POtan30?= eq \f(2 eq \r(6),3)． 又解：连线如图，由C为PA中点，故VO－PBC= eq \f(1,2)VB－AOP， 而VO－PHC∶VO－PBC= eq \f(PH,PB)= eq \f(PO2,PB2)(PO2=PH·PB)． 记PO=OA=2 eq \r(2)=R，∠AOB=?，则 VP—AOB= eq \f(1,6)R3sin?cos?= eq \f(1,12)R3sin2?，VB－PCO= eq \f(1,24)R3sin2?． eq \f(PO2,PB2)= eq \f(R2,R2+R2cos2?)= eq \f(1,1+cos2?)= eq \f(2,3+cos2?)．?VO－PHC= eq \f(sin2?,3+cos2?)? eq \f(1,12)R3． ∴ 令y= eq \f(sin2?,3+cos2?)，y?= eq \f(2cos2?(3+cos2?)－(－2sin2?)sin2?,(3+cos2?)2)=0，得cos2?=－ eq \f(1,3)，?cos?= eq \f( eq \r(3),3)， ∴ OB= eq